Enigme

Tiens, pour le plaisir aussi :

 

- Mon premier, on le marque au stop,

- Mon deuxième, on le crie au passeur,

- Mon troisième, on s'y arrête en voyageant,

- Mon quatrième, sur eux beaucoup nous tapent.

 

- Mon tout plane sur Webastro

Aréopage.

Temps, ?, aire, ?

 

brûlé-je ?

Que nenni...! :be:

Que nenni...! :be:

Elle le fait exprès.

Aréole Garner.

Arret ol (?) gare nerfs

Mais faudra m'expliquer mon deuxième

Arret ol (?) gare nerfs

 

Mais faudra m'expliquer mon deuxième

Arrêt... Olé (Ole quoi...!)... Gare... Nerfs !

Qu'est-ce qui commence par E, qui finit par E, mais qui n'a qu'une seule lettre ?

Qu'est ce qu'un canif ?

Si ce n'est pas un petit couteau évidemment...

Qu'est ce qu'un canif ?

 

Si ce n'est pas un petit couteau évidemment...

Un p'tit fien ...

Un p'tit fien ...

oui, dans sa nife!

Ouais, bon ben pas évident de poser des petites colles à l'heure de Gougoule

oui, dans sa nife!

 

Ouais, bon ben pas évident de poser des petites colles à l'heure de Gougoule

Pas b'soin de Gogol , elles sont vieilles comme mes robes !

Eh bien, moi, je suis très embêté et compte sur vous pour m'aider à résoudre mon problème.

Voilà :

J'adore les œufs à la coque, cuits "à point", c'est à dire avec une cuisson de trois minutes précises. Seulement, j'ai égaré mon sablier traditionnel et ne retrouve plus, dans mes tiroirs, que deux vieux sabliers, respectivement de six et sept minutes d'écoulement..

Problème :

• Qui saura me donner la procédure à mettre en œuvre pour que je puisse me régaler...?

• Et au bout de combien de temps pourrais-je enfin déguster mon œuf "à point"...?

(A noter que je ne peux me fier avec suffisamment de précision à un demi délai du sablier de six minutes...)

Toute la question est : est-ce qu'un élève croupissant en 4ème aura le niveau pour résoudre cette énigme ?

Toute la question est : est-ce qu'un élève croupissant en 4ème aura le niveau pour résoudre cette énigme ?

Savent-ils au moins ce qu'est un sablier...?

Savent-ils au moins ce qu'est un sablier...?

Oui, ils doivent avoir ça sur leur téléphone

Bon sinon, tu retournes les deux sabliers en même temps.

Dès que le sablier 6 est écoulé, tu le remets une 2ème fois.

Dès que le sablier 7 écoulé, tu le remets une 2ème fois.

Dès que le sablier 6 est écoulé, tu le remets une 3ème fois.

Dès que le sablier 7 est écoulé, tu le remets une 3ème fois.

Dès que le sablier 6 est écoulé, tu mets tes oeufs à cuire, car il reste 3 minutes sur le sablier 7.

Faudra patienter 21 minutes, j'espère que tu tiendras

Désolé pour les fautes sur les quantièmes

Je te fais des mouillettes ou pas...?

Mais tu as le temps d'arriver... Au fait, au bout de combien de temps on va se mettre à table... .

C'est marrant Toutiet, car je viens de faire des œufs à la coque ce soir pour ma petite famille. Et en 4 minutes 20 ils n'étaient pas assez cuits.

Un conseil, achète un chronomètre.

C'est marrant Toutiet, car je viens de faire des œufs à la coque ce soir pour ma petite famille. Et en 4 minutes 20 ils n'étaient pas assez cuits.

 

Un conseil, achète un chronomètre.

Un conseil, achète des œufs dans une ferme

C'était des œufs de ferme de moins de 2 jours justement, sinon, je n'aurais pas fait d’œufs à la coque.

Y a des coups de lattes qui se perdent...

C'était des œufs de ferme de moins de 2 jours justement, sinon, je n'aurais pas fait d’œufs à la coque.

Y a des coups de lattes qui se perdent...

Oui mais bon, avec le changement d'heure... c'est normal qu'il faille plus de temps

C'est marrant Toutiet, car je viens de faire des œufs à la coque ce soir pour ma petite famille. Et en 4 minutes 20 ils n'étaient pas assez cuits.

 

Un conseil, achète un chronomètre.

Normal, si tu les avais mis au frigo...! (mais le "standard", c'est trois minutes à l'eau bouillante )

Les premiers jours le blanc de l’œuf est très liquide et cuit mal. Monte également mal en neige.

Les œufs sont considérés Extra frais pendant neuf jours et comme mangeable sans restriction pendant un mois.

Christian

Nous sommes en 2017 et en mars, le troisième mois de l'année. Ça tombe bien, j'aimerais connaître le dernier chiffre du nombre 3^2017.

Qui pourrait me le donner...?

A vos calculettes, et merci d'avance .

3

Si on pose f(n)=dernier chiffre de n, on remarque que f(3^0)=1, f(3^1)=3, f(3^2)=9, f(3^3)=f(27)=7, f(3^4)=f(81)=1, f(3^5)=f(243)=3... On a donc une suite répétitive 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7...

f(3^n)=1 si n mod 4=0

f(3^n)=3 si n mod 4=1

f(3^n)=9 si n mod 4=2

f(3^n)=7 si n mod 4=3

Comme 2017 mod 4 = 1, on trouve le résultat f(3^2017) = 3

Toutiet, et quel sera le dernier chiffre de (2017^2017)^2017, et le dernier de 2017^(2017^2017) ?

Ben en fait, non, j'm'ai gourré

Selon le même processus que dans la solution du problème que j'ai posé initialement, on démontre que 2017^2017 se termine par 7

Par suite, et toujours selon le même processus, (2017^2017)^2017 doit aussi se terminer par 7, non ?

Un nombre n entier peut s'écrire sous la forme u0+u1*10+u2*100+... où ui est le ième chiffre du nombre n en partant de l'unité u0. Par exemple si n=563, on aura u0=3, u1=6 et u2=5.

Quand on multiplie n par n, on pose l'opération comme si on cherchait à la calculer sur une feuille de papier. Par exemple si n est composé de 3 chiffres on aura :

            u3   u2   u1
x            u3   u2   u1
--------------------------
           u1u3 u1u2 u1u1
+      u2u3 u2u2 u2u1
+ u3u3 u3u2 u3u1
--------------------------
 ................... u1u1

On peut remultiplier le résultat par n et on aura alors le dernier chiffre égal à u1^3. Ainsi de suite, le dernier chiffre du résultat de n^p est égal au dernier chiffre de n, élevé à la puissance p. Donc si on note f(n) la fonction qui retourne le dernier chiffre de n, alors :

f(n^p)=f(f(n)^p).

Par exemple, si n=2017 et p=14, f(2017^14) = f(f(2017)^14) = f(7^14) = f(678 223 072 849) = 9

Cette propriété est puissante car calculer brutalement 2017^2017 pour en déterminer le dernier chiffre reviendrait à calculer un nombre de 6666 chiffres. Cette propriété permet de faire chuter le nombre de chiffres car 7^2017 ne fait plus que 24 chiffres. Mais c'est toujours trop, les tableurs comme Excel et les calculatrices ne donnent généralement pas plus d'une quinzaine de chiffres significatifs. Il faut aller plus lon dans le raisonnement.

La propriété définie ci dessus permet de réduire le nombre à un seul chiffre, compris entre 0 et 9. On a donc dix cas à étudier. Quand on élève un chiffre de 0 à 9 à des puissances p successives (p>0), on se rend compte que le dernier chiffre des résultats se répètent à l'infini. Par exemple :

f(2^1)=2

f(2^2)=4

f(2^3)=8

f(2^4)=f(16)=6

f(2^5)=f(32)=2

f(2^6)=f(64)=4

f(2^7)=f(128)=8

f(2^8)=f(256)=6

f(2^9)=f(512)=2

f(2^10)=f(1024)=4

La suite [6,2,4,8] se répète indéfiniment. Donc il est inutile de calculer brutalement le résultat de u^p, il suffit juste de réduire p à son reste par la division par 4 (nombre de termes dans la suite), ce qui revient à calculer le modulo de p par 4, noté p mod 4. Si p mod 4 = 0, on prend le premier terme de la suite (donc 6), si p mod 4 = 1, on prend le deuxième (2) puis 4 puis 8.

On détermine ainsi les résultats possibles pour chaque cas :

0 => {0}

1 => {1}

2 => [6,2,4,8]

3 => [1,3,9,7]

4 => [6,4]

5 => {5}

6 => {6}

7 => [1,7,9,3]

8 => [6,8,4,2]

9 => [1,9]

Reprenons notre exemple : f(2017^2017) = f(f(2017)^2017) = f(7^2017) = (2017 mod 4) de [1,7,9,3] = (1) de [1,7,9,3] = 7

On a ainsi calculé le résultat sans calculer les 6666 chiffres de 2017^2017 !

On cherche maintenant le dernier chiffre de (2017^2017)^2017 qui s'écrit avec 13 444 499 chiffres. Pour simplifier on cherche f((n^n)^n).

La propriété f(n^p) = f(f(n)^p) permet d'écrire :

f((n^n)^n) = f(f(n^n)^n)= f(f(f(n)^n)^n)

Donc f((2017^2017)^2017)=f(f(f(2017)^2017)^2017)=f(f(f(7)^2017)^2017)

Or f(f(7)^2017)=7, donc f(f(f(7)^2017)^2017)=f(f(7)^2017) = 7

Bref le dernier chiffre de (2017^2017)^2017 est 7. On a déterminé le dernier chiffre d'un nombre de 13 444 499 chiffres...

Énigme suivante : Calculer le dernier chiffre de 2017^(2017^2017). Il faut 6667 chiffres pour écrire le nombre de chiffres de ce nombre !

Il faudra bien évidemment justifier la réponse... on pourra utiliser la propriété suivante :

Si : a mod m = b, alors (a^p) mod m = (a mod m)^p mod m = (b^p) mod m