bernarddo

Le désaccord Hilbert -Schwarzschild et la cosmologie moderne

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Bonjour à tous

Il me semble important de faire connaître ici le désaccord fondamental à la fois littéral et théorique (et pourtant oublié) qui sépare les solutions de l'équation de champ d'Einstein données respectivement par Schwarzschild et Hilbert, cette dernière constituant la base de la cosmologie actuelle, au contraire de celle de Schwarzschild qui a été depuis complètement occultée.

C’est en outre légitime, car il ne s’agit pas d’une théorie personnelle mais d’un fait historique explicitement reconnu par Hilbert lui-même, qui a troublé et trouble encore de nombreux savants et non des moindres, et important parce que, et sauf erreur de ma part, non tranché publiquement par un argumentaire débattu et accepté par la majorité des cosmologistes, il jette un doute sur beaucoup des développements actuels de la discipline.

La base en est l’article suivant de 2005 qui expose, et justifie, des critiques faites sur la solution aujourd’hui admise, celle de Hilbert :

Réexposition de la variété originale de Schwarzschild par SALVATORE ANTOCI et DIERCK-EKKEHARD LIEBSCHER (arXiv:gr-qc/0406090 v2)

dont j'ai esquissé une traduction de l'introduction en français.

Cet article se distingue d'abord par la simplicité et la clarté de son exposé scientifique du problème.

Et son importance tient aussi au fait qu’il démontre la réalité de la controverse scientifique, donne une vision historique de ce qui s’est passé, et présente l’ensemble des documents pertinents sur l’affaire, ainsi qu’une bibliographie des travaux qui s’y sont ultérieurement rapportés. En particulier :

1 – réalité assurée par Hilbert lui-même, conscient de ce hiatus car, en note de bas de page de son papier, il rejette la solution de Schwarzschild :

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2 – vision historique à travers les étapes de la formalisation de l’équation de champ, et la mise en lumière du rôle important qu’a probablement joué la mort de Schwarzschild, puis la traduction tronquée en anglais de l’article de Schwarzschild par Philipp Franck, qu’il présente en bibliographie

3 – exhaustivité par la présence dans l’article lui-même, en annexe A la traduction récente de l’article original de Schwarzschild, et en annexe B la traduction aussi récente en anglais de la partie pertinente de la controverse dans celui de Hilbert

4 – exhaustivité par la présentation des réactions des savants contemporains (voir Brillouin) et des travaux théoriques ultérieurs fournissant des éléments scientifiques aptes à trancher le dilemme, et sur les travaux qu’un basculement des cosmologistes vers la solution de Schwarzschild remettrait en cause (extension de Kruskal en particulier)

Traduction de l’Introduction:
"Le contenu de cet article serait difficilement compréhensible sans un avant propos de caractère historique: la solution originale de Schwarzschild, exposée incontestablement dans son document,

« Sur le champ gravitationnel d'un point-masse suivant la théorie d'Einstein » , texte anglais en ref [1]

décrit une variété qui est différente de celle définie par la solution qui va porter le nom de « Schwarzschild » dans pratiquement tous les livres et les articles de recherche écrits par les relativistes depuis près de neuf décennies. Cette dernière solution doit être plutôt portée, d'après Abrams [2], au crédit d'Hilbert. Les lecteurs ne devraient pas être portés à croire qu'en disant cela nous avons l'intention de priver Schwarzschild du mérite de sa découverte, et de l'attribuer aux travaux ultérieurs de Hilbert. Ce n'est pas le cas : une lecture rigoureuse du document de Schwarzschild et de la fameuse Communication de Hilbert [3] montre en effet que, alors que la démarche d'établissement de la solution originale de Schwarzschild est mathématiquement sans faille, celle de Hilbert contient une erreur. Ce défaut ayant été négligé, la variété de Hilbert se trouvait inclure, mais par hasard, la variété de Schwarzschild, mais n'était pas en correspondance point par point avec elle. Ce fait fut jugé non pertinent par Hilbert, mais constitua bientôt une énigme qui rendit perplexes des théoriciens comme Marcel Brillouin [4], et devait prendre une importance cruciale plus de quarante ans plus tard. En fait la naissance de l'idée de trou noir, comme l'a noté pour la première fois Abrams [2], peut être considérée comme un simple héritage de la magnanimité de Hilbert.

L'article de Schwarzschild, qui constitue la première "dérivation" du champ d'un "point de masse" selon la relativité générale, est un exemple impressionnant de précision mathématique et de clarté d'exposition.


En lisant le papier de Schwarzschild, on note immédiatement [6] que les équations qu’il s’efforce de résoudre dans le cas particulier d’un champ statique, de symétrie sphérique, ne sont pas les équations finales de la relativité générale [7, 8] trouvées par Einstein et Hilbert, relatives au cas du vide. En fait, les équations (A.4) et (A.5), (voir annex A), sont les équations du vide pour l'avant-dernière version de la théorie [9] que Einstein aurait communiquée à l'Académie des Sciences de Prusse le 11 novembre 1915. Ces équations donnent, pour le vide, la même solution que les équations de la dernière théorie du 25 novembre, mais leur covariance est limitée aux transformations unimodulaires.
De ce fait, il était extrêmement gênant pour Schwarzschild d'utiliser, en tant que coordonnées s'adaptant à la symétrie sphérique, les coordonnées polaires usuelles : r, θ, φ, t, puisque le déterminant fonctionnel de la transformation des coordonnées cartésiennes en polaires est r2 sinθ qui est différent de 1; il avait donc adopté des coordonnées polaires de déterminant 1, définies par l'équation (A.7). En utilisant ces coordonnée xi , le carré de l'élément de trajectoire ds2 à symétrie ajustée est écrit par Schwarzschild, dans l'équation (A.9), au moyen de f 1, f 2 = f 3, f 4, à savoir trois fonctions indépendantes de la coordonnée radiale x1. Ces fonctions doivent remplir les conditions énumérées juste après cette équation: comportement de Minkowski à l'infini spatial, satisfaction des équations de champ, y compris l'équation concernant le déterminant et la continuité partout, sauf à l'origine.

Lorsque ces conditions sont respectées, à l’exception de la dernière, Schwarzschild a découvert que les trois fonctions indépendantes f 1, f 2, f 4 étaient données par les équations (A.12), (A.10) et (A.11) respectivement. Elles contiennent deux constantes d'intégration indépendantes, α et ρ. En faisant appel à Newton, Schwarzschild a montré que α, avec ses unités, valait juste deux fois la valeur de la masse gravitationnelle active. La constante restante ρ a été déterminée par Schwarzschild en imposant sa dernière condition, à savoir la continuité des composants de la métrique. La fonction f 1 est en effet discontinue lorsque 3x 1 = α 3 - ρ. Pour un α donné, le choix d’une valeur donnée pour ρ modifie la position de la discontinuité dans l’intervalle de définition [0, + ∞ [ de la coordonnée radiale x1. Elle peut donc amener la discontinuité en dehors de celle-ci. Donc le choix de ρ fixe le choix même de la variété "point de masse". L’obligation de continuité partout, sauf à l'origine, a conduit Schwarzschild à définir ρ = α 3, c.-à-d. à situer la discontinuité qui devait être nommé, après lui, "la singularité au rayon de Schwarzschild ", au bord intérieur de la variété.


Comparons maintenant la détermination par Schwarzschild de la variété représentant le champ gravitationnel statique, en symétrie sphérique avec la détermination ultérieure faite par Hilbert [3]. Pour faciliter la comparaison, la traduction en anglais de la partie pertinente de la seconde Communications de Hilbert intitulée "Fondamentaux de la physique" est reproduit à l'annexe B. Hilbert utilise la version finale de la théorie, qu'il avait lui-même contribué à établir, dans sa première Communication [8], du même intitulé, et qui supportait la covariance généralisée. Il pouvait donc adopter les coordonnées polaires sphériques habituelles et écrire la métrique pour un champ g μν statique et à symétrie sphérique, comme dans l'expression (B.42) , (voir annexe B). De ce fait, la métrique dépend de trois fonctions arbitraires F (r), G (r), H (r), où r est une coordonnée radiale, dont le domaine de variation, en accord avec sa définition en terme de coordonnées cartésiennes wi, est donné par 0 ≤ r <+ ∞. Mais, alors que le choix de Schwarzschild d'une métrique dépendant de trois fonctions arbitraires n’était pas redondant, car il devait respecter à la fois les équations du champ et la condition sur le déterminant, l’élément de Hilbert, après avoir satisfait les équations du champ, contenait encore une fonction arbitraire. C'est pourquoi Hilbert choisit de fixer l'une des trois fonctions F (r), G (r), H (r) en définissant une nouvelle coordonnée radiale r * telle que r * = (G (r)) 1/2.

Alors, bien sûr, il fut conduit à supprimer l'astérisque et à écrire l'élément de trajectoire avec deux fonctions inconnues M (r) et W (r), comme dans l'expression (B.43), laquelle est devenue le point de départ standard de tous les établissements de la "solution de Schwarzschild" que l'on trouve dans tous les manuels. Comme l'a noté justement Abrams [2], ce que ni Hilbert ni, à sa suite les générations suivantes de relativistes ne remarquèrent, c'est que ce qu'ils étaient conduits à faire étaient d'assumer sans justification que le domaine de validité physique de la nouvelle coordonnée radiale était toujours 0 ≤ r <+ ∞.

En fait, cela revient à faire par inadvertance le choix restrictif de poser G (0) = 0 dans l'expression (B.42).
La nouvelle coordonnée radiale permit à Hilbert de bénéficier d'une méthode de solution simple, basée sur le raccourci brillant, bien que mathématiquement non justifié : écrire la contrainte de symétrie pour le problème étudié et appliquer un principe de contrainte restreint à cette symétrie; la validation de la solution résultante n'est pas assurée et doit être vérifiée après coup. De cette façon, Hilbert a finalement trouvé l’élément de trajectoire de l'équation (B.45), qui, contrairement au résultat de Schwarzschild, dépend d'une seule constante d'intégration, α, à nouveau interprétée comme le double de la masse gravitationnelle active. La discontinuité du coefficient de dr 2, c'est-à-dire l'homologue de la discontinuité présentée par la fonction f 1 (x1) dans l'équation de Schwarzschild (A.12), est, dans la solution de Hilbert, fixée à r = α, car dans celle-ci il n'y a pas de constante libre d'intégration, tel le ρ de Schwarzschild, et qui, lui, permettait de la déplacer. C’est la conséquence du choix indûment restrictif : G (0) = 0, c'est-à-dire de la légèreté de Hilbert, et nullement une conséquence nécessaire des équations d'Einstein.

Les équations d'Einstein ne déterminent pas la topologie, et un raisonnement supplémentaire est nécessaire pour le faire.
Néanmoins, la solution originale et la variété de Schwarzschild, qui étaient le résultat d'une procédure mathématiquement correcte et du choix pondéré de la constante d'intégration ρ, est vite tombé dans l'oubli. La solution et la variété de Hilbert, qui étaient au contraire la conséquence de la fixation par inadvertance d’une constante d’intégration, ont été transmises à la postérité en tant que la "solution unique de Schwarzschild". La mort prématurée de Schwarzschild a sans doute contribué à conforter cette erreur de dénomination. Mais la responsabilité principale en incombe à Hilbert lui-même, étant donné sa position exceptionnelle et bien méritée dans la communauté des mathématiciens, astronomes et physiciens de son temps et du nôtre.

En fait, tout en rejetant, dans une note de bas de page 2, la démarche de Schwarzschild pour fixer la discontinuité à l’origine, comme "non souhaitable", Hilbert a attribué à Schwarzschild la découverte de sa propre solution (B.45), donc de la variété qu'il a choisie par inadvertance, celle dans laquelle 0 ≤ r <+ ∞, avec ses deux singularités situées à r = 0 et r = α dans ce que les relativistes appelleraient ultérieurement les "coordonnées de Schwarzschild".

Cependant, de telles caractéristiques, qui auraient gêné tant de générations de savants, ne présentaient qu'un intérêt très marginal pour le grand Hilbert. Comme il ressort des derniers mots enthousiastes de sa communication [8] de 1915, il avait la ferme conviction que, en partant seulement de deux axiomes simples, et grâce aux puissants instruments constitués par le calcul des variations et par la théorie des invariants, il avait réussi à regrouper en une structure mathématique durable à la fois les nouvelles idées d’Einstein sur la gravitation et la nouvelle conception de Mie de l’électrodynamique [10, 11].

Dans l’esprit de Hilbert, seule une théorie complète aurait été capable de fournir une représentation immédiate de la réalité, avec partout des solutions régulières, et à toute échelle. Par conséquent, il ne fallait pas s’inquiéter si la première, et partielle, plongée dans le contenu mathématique exact de la théorie, fait en négligeant la composante fondamentale du champ électromagnétique, présentait, à côté de la confirmation de la réussite d’Einstein [12] à propos de l’avancée du périhélie de Mercure, des comportement singuliers d'interprétation difficile.

Les 3 chapitres suivants non traduits s'intitulent :

2 - The wrong arrow of time of Hilbert’s manifold is at the origin of the Kruskal extension

3 - An invariant, local, intrinsic quantity that diverges at the Schwarzschild surface

4. The singularity at the Schwarzschild surface is both intrinsic and physical

... et la conclusion

Références

[1] Schwarzschild, K. (1916). Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., 189

(submitted 13 Jan. 1916).

[2] Abrams, L.S. (1989). Can. J. Phys. 67, 919.

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0102055. 

[3] Hilbert, D. (1917). Nachr. Ges. Wiss. G¨ottingen, Math. Phys. Kl., 53 (submitted 23

Dec. 1916).

[4] Brillouin, M., (1923). J. Phys. Rad. 23, 43.

English translation at: http://arxiv.org/abs/physics/0002009. 

[5] English translation of [1]: (2003). Gen. Relativ. Gravit. 35, 951.

http://arXiv.org/abs/physics/9905030. 

[6] Antoci, S., and Liebscher, D.-E. (2003). Gen. Relativ. Gravit. 35, 945.

[7] Einstein, A. (1915). Sitzungsber. Preuss. Akad.Wiss., Phys.Math. Kl., 844 (submitted

25 Nov. 1915).

[8] Hilbert, D. (1915) Nachr. Ges. Wiss. G¨ottingen, Math. Phys. Kl., 395 (submitted 20

Nov. 1915).

[9] Einstein, A. (1915). Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., 778, 799

(submitted 11 Nov. 1915).

[10] Mie, G. (1912). Annalen der Physik 37, 511; ibidem 39, 1.

[11] Mie, G. (1913). Annalen der Physik 40, 1.

[12] Einstein, A. (1915). Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., 831 (submitted

18 Nov. 1915).

[13] Lichnerowicz, A., (1955). Théories relativistes de la gravitation et de l´électromagnétisme, Masson, Paris.

[14] Einstein, A. (1916). Annalen der Physik 49, 769.

[15] Eddington, A.S., (1924). Nature 113, 192.

[16] Finkelstein, D., (1958). Phys. Rev. 110, 965.

[17] Lemaitre, G., (1933). Ann. Soc. Sci. Bruxelles 53, 51.

[18] Synge, J.L., (1950). Proc. R. Irish Acad. 53A, 83.

[19] Fronsdal, C., (1959). Phys. Rev. 116, 778.

[20] Kruskal, M.D., (1960). Phys. Rev. 119, 1743.

[21] Szekeres, G., (1960). Publ. Math. Debrecen 7, 285.

[22] Rindler, W., (2001). Relativity, special, general and cosmological, Oxford University

Press, Oxford, pp. 265-267.

[23] Geroch, R., (1968). J. Math. Phys.9, 450.

[24] Geroch, R., (1968). Annals of Physics 48, 526.

[25] Schmidt, B.G., (1971). Gen. Relativ. Gravit. 1, 269.

[26] Geroch, R., Kronheimer, E.H., and Penrose, R. (1972). Proc. R. Soc. Lond. A 327,

545.

[27] Ellis, G.F.R., and Schmidt, B.G. (1977). Gen. Relativ. Gravit. 8, 915.

[28] Thorpe, J.A., (1977). J. Math. Phys. 18, 960.

[29] Geroch, R., Liang Can-bin, and Wald, R.M., (1982). J. Math. Phys. 23, 432.

[30] Scott, Susan M., and Szekeres, P., (1994). J. Geom. Phys. 13, 223.

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9405063.

[31] Synge, J. L., (1966). What is Einstein’s Theory of Gravitation?, in: Hoffman, B.

(ed.), Essays in Honor of Vaclav Hlavat´y, Indiana University Press, Bloomington p. 7.

[32] Israel, W., (1967). Phys. Rev. 164, 1776.

[33] Bach, R. and Weyl, H., (1922). Math. Zeitschrift 13, 134.

[34] Weyl, H., (1917). Annalen der Physik 54, 117.

[35] Levi-Civita, T., (1919). Rend. Acc. dei Lincei 28, 3.

[36] Zipoy, D.M., (1966). J. Math. Phys. 7, 1137.

[37] Cooperstock, F.I. and Junevicus, G.J., (1973). Nuovo Cimento B 16, 387.

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<soupir>

Si mes souvenirs sont bons, les seuls à trouver un intérêt à ce sujet sont JPP et ses disciples. Pourquoi ne pas déclarer ouvertement quelles sont tes intentions?

Et pour la énième fois, un forum d'astronomie amateur n'est pas une tribune ouverte pour des théories en mal d'audience.

Modifié par julon2000

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42 ?

  • Comme je me gausse! 1

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Le 04/11/2018 à 19:59, julon2000 a dit :

<soupir>

Si mes souvenirs sont bons, les seuls à trouver un intérêt à ce sujet sont JPP et ses disciples. Pourquoi ne pas déclarer ouvertement quelles sont tes intentions?

Et pour la énième fois, un forum d'astronomie amateur n'est pas une tribune ouverte pour des théories en mal d'audience.

 

Réponse point par point:

 

 1- Il n'y a là aucune "théorie en mal d'audience" mais un désaccord fondamental réel entre les deux maîtres mathématiciens contemporains à l'établissement de la RG, tous deux pleinement reconnus par la communauté académique. L'article montre d'ailleurs que le survivant des deux était conscient de cette différence. Se poser la question de savoir comment il a été tranché me paraît absolument nécessaire à la compréhension de la théorie.

 

2 - Il n'y a dans le post aucune référence aux travaux de JPP, qui n'était pas né au moment de l'exposition de ces travaux.

Pourquoi ne pas déclarer ouvertement pourquoi les travaux de JPP vous obsèdent, au point de le "gourouiser" pour  l'ostraciser ?

 

3 - Quand on a une aussi bonne  mémoire et que l'on s'intéresse (beaucoup et en spécialiste) à la cosmologie on devrait plutôt l'utiliser pour intérioriser les travaux des cadors de la discipline, prendre connaissance de cette différence conceptuelle entre Hilbert & Schwarzschild, et on se trouverait alors devant un choix simple :

- soit considérer qu'elle n'a pas lieu d'être et expliquer pourquoi simplement aux non spécialistes

- soit la considérer comme réelle conceptuellement et soit:

          - fournir au même non spécialiste la réponse académique qui devait être si évidente (ou si peu importante) qu'il n'a pas été nécessaire de lui donner un écho public, ni aucune trace écrite (au moins à ma connaissance).

          - dans le cas contraire, (importance conceptuelle), se demander pourquoi, un siècle après, (au moins à ma connaissance), elle n'a pas été tranchée de façon académique et publique.

 

 

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Périodiquement, des gens comme toi viennent sur le forum pour ressasser les mêmes choses dans le sous-forum astrophysique, et uniquement ici (tu n'as posté aucun message ailleurs, vraisemblablement parce que l'astronomie amateur ne t'intéresse pas) : pas besoin d'avoir une mémoire d'éléphant pour vous identifier. Je ne suis pas un spécialiste en cosmologie, même si j'ai fait des études en physique et que je me suis spécialisé en relativité générale. Mais je ne pratique plus, et je me réfère donc à l'opinion des chercheurs dont c'est le travail de passer leurs journées sur le sujet.

 

Et ces derniers, dans leur majorité, n'accordent pas d'importance au sujet que tu évoques (hors histoire des sciences peut-être) : la relativité générale n'est pas une sorte de truc sacré pour lequel il faudrait étudier attentivement les textes des fondateurs, mais un formalisme mathématique bien rôdé qui est nettement mieux compris maintenant qu'au temps des pionniers. Une analogie peut-être : Newton, Leibniz et d'autres se sont chamaillés au XVIIè siècle lors du développement de la mécanique newtonienne et du calcul différentiel. Et pourtant leurs discussions ne sont pas mentionnées lors des cours de mécanique.

Modifié par julon2000
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Il y a 3 heures, julon2000 a dit :

la relativité générale n'est pas une sorte de truc sacré pour lequel il faudrait étudier attentivement les textes des fondateurs, mais un formalisme mathématique bien rôdé qui est nettement mieux compris maintenant qu'au temps des pionniers.

 

Non, la RG n'est pas un formalisme mathématique, mais une tentative de description de l'univers physique à travers une formulation (et non un formalisme) mathématique dont je pense qu'ils sont tous deux effectivement bien compris par la majorité, et en particulier par les auteurs de l'article.

Mais la cosmologie ce n'est pas de la mathématique, c'est de la physique, c'est du réel, et les démonstrations des deux protagonistes sont sous-tendues par des hypothèses physiques différentes, (ou plus exactement, celle de Schwarzschild se donne une contrainte physique de continuité absente chez Hilbert), et aboutissent donc logiquement, suivant le même formalisme, à des formulations mathématiques différentes. Il n'y a rien à comprendre, juste à constater !!

Deux formulations sous le même formalisme, donc formellement, deux RG en concurrence, vendues pour le prix d'une, celle de Hilbert, proposée sous emballage Schwarzschild.

Et donc une des deux fautive quelque part.

N'est-il pas légitime de se demander laquelle ?

Et puisqu'une d'entre elles a été choisie, en vertu de quels critères ?

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Il y a 2 heures, bernarddo a dit :

N'est-il pas légitime de se demander laquelle ? 

Peut-être, je ne sais pas, je n'ai pas lu les articles en question (et je n'ai aucune intention de le faire). Mais le faire sur un forum d'astronomie amateur n'est pas le lieu pour ça, si c'est aussi important à tes yeux. Ce sous-forum sert aux astronomes amateurs qui ont des questions sur l'astrophysique, et (pour la millième fois) ça n'est pas une tribune ouverte pour discuter de théories marginales.

 

Ça sera ma dernière intervention, les passages en gras et le découpage de cheveux en 4, ça m'amuse moyen.

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Bonjour !

 

Il y a 3 heures, bernarddo a dit :

Et puisqu'une d'entre elles a été choisie, en vertu de quels critères ?

 

C'est surtout une question d'amour, je pense.

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Janus le retour ! Encore un nième sujet déjà tranché depuis belle lurette qu'on nous remet sur le tapis sous le format habituel d'un monologue incompréhensible et celà dans un forum d'amateurs :) 

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Ce qui m'étonne dans ce genre de message, je parle du premier bien sûr, c'est que l'auteur ne le signe pas et utilise un pseudo !

Si j'étais pour ma part capable de comprendre ne serait-ce que la moitié du tiers du quart du dixième du centième de ce que ça veut dire, je serais fier qu'on sache qui je suis ! :D

Je me sens tout petit, mais peut-être que si je comprenais quelque chose à ce texte, je saurais pourquoi ... :be:

  

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Oh pinaaaaaise ! Il fallait lire le premier post ?????!

 

...

 

Sorry.

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Il y a 6 heures, bernarddo a dit :

Et donc une des deux fautive quelque part.

N'est-il pas légitime de se demander laquelle ?

Et puisqu'une d'entre elles a été choisie, en vertu de quels critères ?

 

J'ai connu des Bernardo qui parlaient un peu moins :rolleyes: 

 

 

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il y a 11 minutes, pat59 a dit :

 

J'ai connu des Bernardo qui parlaient un peu moins :rolleyes: 

 

 

Résultat de recherche d'images pour "bernardo"

Ou un Zorro qui veut "remettre les pendules à leur place" !

A votre avis qui est l'auteur de cette superbe maxime ? :D

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