Bonjour sur le forum.
INTRODUCTION :
J'essaie ici de trouver mon propre chemin vers la compréhension et la formulation des transformations de Lorentz.
Gageant que pour bien s'approprier et comprendre une idée, rien n'est mieux que d' essayer de la retrouver par soi-même, j'en tente l'aventure.
Grâce aux lecteurs du forum, je me suis rendu compte que mes précédents essais étaient faux.
Suite à un temps de réflexion, notamment sur les questions de simultanéité et de définition des coordonnées d'un objet, je persévère à tenter "d'inventer" ma propre méthode pour comprendre et résoudre les fameuses transformations de Lorentz.
Ayant beaucoup oublié de ma formation en mathématiques d'il y a cinquante ans, je me suis servi des souvenirs très basiques qui me restent. Au moins ainsi, je me dis que cet essai, s'il s'avère suffisamment correct, peut servir au delà qu'à moi-même, à la vulgarisation de la théorie relativiste.
J'espère cette fois m'être enfin rapproché de mon but. Merci à mon lecteur pour sa patience.
Merci aussi si vous voulez donner votre avis sur ce texte.
NOTE SUR LES INDEXATIONS :
Pour rendre les différentes valeurs compréhensives dans chacun des systèmes :
Mts, "M à l'instant t sur S", représente le point M à l'instant t considérant le système S.
De même, Mt's' représente le point M à l'instant t' sur le système S'.
OMts = xts est la coordonnée du segment OMts sur l'axe des x à l'instant t de S.
O'Mt's' = x't's' est la coordonnée du segment O'Mt's' sur l'axe des x à l'instant t' en référence à S'. C'est aussi l' abcisse du point M sur S'.
M1M2ts est la coordonnée du segment M1M2 sur l'axe des x, en référence à S, etc.
ESSAI DE DÉMONSTRATION :
S et S' sont deux référentiels galiléens aux repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme de vitesse v positive par rapport à S. Le mouvement est sur l'axe des x que les deux systèmes ont en commun.
On est dans le vide. M est un point fixe de S sur l'axe des x dont le rayonnement lumineux est perçu en O. Pour simplifier, on choisit cet instant de réception pour placer l'origine O' en O. M représente un objet physique. C'est donc son photon perçu par l'observateur situé en O, ou en O', suivant le référentiel, qui définira ses coordonnées.
O't's'Mt's'=ct', de même OtsMts=ct car la vitesse c de la lumière dans le vide est constante, selon la théorie de la relativité restreinte, pour tous les systèmes galiléens, c'est à dire non accélérés.
Ce signal a parcouru la distance ct de M à O sur S. Sur S', il aura parcouru la distance ct' pour être perçu en O' au temps t'.
Par définition Mts=Mt's' puisque c'est le même photon partant de M qui arrive en O et O' aux temps respectifs t et t'.
D'où, comme M est un point fixe dans le repère S :
OMts=OMt's'.
Par contre, O'Mts=O'Mt's' serait faux car M est en mouvement dans ce système. Reprenons :
OMts=OMt's'=OO't's'+x'
Et comme O' s'est déplacé de OO't's'=vt'=vx'/c , on trouve
x=vx'/c+x'=(1+v/c)x'
x'=x/(1+v/c)
Ce qui donnerait, pour les écarts aux temps t et † pour Mt et M†, points fixes de S :
O't's'Mt's'-O'†'s'M†'s'=(OMts-OM†s)/(1+v/c) , ou
∆xs'=∆xs/(1+v/c) si v/c ≠ 1
Pour être correcte, la formulation recherchée se doit de respecter la règle d'isotropie de l'espace.
Donc la même valeur d'écart doit exister pour les mêmes points des deux systèmes si l'on inverse v en -v , c'est à dire si maintenant O' s'éloigne de M. On aurait alors l'expression de cette valeur en écrivant :
∆xs'=∆xs/(1-v/c) si v/c ≠ 1
Ces deux égalités sont insatisfaisantes, et s'excluent mutuellement. Ni l'une ni l'autre prise isolément, n'est conforme à la règle d'isotropie spatiale.
Par contre, en multipliant ensemble ces deux formulations du même écart, on trouve l'équation générale vraie alors pour v et -v :
(∆xs')²=(∆xs)²/(1-v²/c²)
D'où, si |v/c| ≠ 1 et 1-v²/c² positif les 2 solutions sur R :
∆xs' = ∆xs/√(1-v²/c²) , et
∆xs' =-∆xs/√(1-v²/c²) : impossible car Mt et M† ne peuvent pas s'inverser dans leur arrivée en O' si v/c > 0, ceci selon les deux égalités d'origine pour v comme pour -v, où ∆xs et ∆xs' ont même signe.
Classiquement, si l'on applique la notation xt's'=x' et xts=x, on obtient l'expression des écarts des coordonnées en posant b=1/√(1-v²/c²)
∆x' = ∆x /√(1-v²/c²)=b∆x
POUR LES COORDONNÉES des points Mts et Mts', maintenant :
On aurait, pour la situation particulière où M†s serait en O', O'†'s'M†'s'=0
Et comme
O't's'Mt's'-O'†'s'M†'s'=b(OMts-OM†s),
Par suite,
O't's'Mt's'= b(OMts-OO'ts)
O't's'Mt's'=b(OMts-vt),
soit
x'=b(x-vt)
x'=(x-vt)/√(1-v²/c²)
Puis en divisant par c l'expression :
x'=b(x-vt),
On obtient
t'=b(x/c-vt/c) ou encore
t'=b(t-vx/c²)
soit
t'=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)
Ce qui donne pour un point M, la transformation de l'intervalle temps :
∆t'=∆t /√(1-v²/c²) et ∆t<∆t'
Par exemple si ∆t'/∆t=2, deux secondes sur S' correspondraient à 1 seconde sur S. S pourrait être la fusée et S' la terre. Par contre, si l'on se place du point de vue de la terre comme système local "fixe"S, c'est l'inverse.
√(1-v²/c²)=1/2
1-v²/c²=1/4
v²/c²=3/4
v=c.√3/4=1/2c.√3
v ≈ 0,87c
L' écart temporel ∆t du système choisi pour l'observateur local "fixe", est toujours inférieur à celui mesuré sur le système en mouvement relatif.
Morale de l'histoire : Si les voyages forment la jeunesse... Ils déracinent un peu !
CONCERNANT LES LONGUEURS :
Du point de vue du système S, mesurer la longueur d'un segment de S', correspondrait à la prise d'une photo d'une longueur étalon ∆l' mesurée au repos sur S.'
L'idéal serait que cette photo soit prise au passage de S quand O se trouve au milieu du segment mesuré. L'observateur doit être considéré au repos sur S' pour que la mesure corresponde bien à l'étalon de S'.
Dans ces conditions, S devient en mouvement relatif à vitesse -v par rapport à cette longueur étalon de S'. la longueur ∆l mesurée sur S serait donc :
∆l=∆l'/√(1-v²/c²)=b∆l' et b>1 ou,
Si ∆l est la longueur mesurée sur le système fixe :
∆l'=∆l√(1-v²/c²)
Une fusée allant à une vitesse proche de celle de la lumière, mesurant 1m à son bord, pourra apparaître mesurer 2 mètres pour un observateur terrestre, lors de son passage près de la terre.
Et autrement dit :
∆x/∆x'=√(1-v²/c²) est un rapport toujours inférieur à 1 si v est non nul, donc un écart ou une longueur |∆x| mesurée sur le système de référence fixe sera perçu comme supérieur par le système en mouvement relatif.
Si O représentait un observateur de la terre et O' une fusée s'en éloignant à la vitesse constante v, la longueur |∆x| = ∆l de deux points immobiles du système "fixe" terrestre, soit par exemple ceux du diamètre de la terre, serait, mesurée depuis la fusée, supérieure à ∆l.
Si O représentait un observateur de la fusée et O' la terre s'en éloignant à la vitesse constante v, la longueur ∆l de la fusée par exemple, mesurée du système fixe fusée, serait inférieure à la même distance mesurée par l'observateur depuis la terre.
REMARQUE GÉNÉRALE :
Pour résoudre le problème, on a dû supposer 1-v²/c² non nul.
Si 1-v²/c² est nul, soit v=c, la résolution est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que 1-v²/c² soit positif pour en extraire la racine. Ceci a donné la solution précédente.
Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires, il existe encore des solutions si 1-v²/c² est négatif, soit, si v, la vitesse de S' par rapport à S, est supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment S' pourrait recevoir le signal de M venant du système S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de calcul, on aurait alors deux autres solutions pour 1-v²/c² négatif, dans un espace imaginaire", en :
i √(v²/c²-1) et -i √(v²/c²-1) ou bien :
i √I1-v²/c²I et -i √|1-v²/c²I
Plus généralement, on aurait pour les transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √(v²/c² -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v²/c² -1)
Puis comme 1/i=-i :
x' = -i (x- vt)/ √(v²/c² -1)
x' = i (x- vt)/ √(v²/c² -1)
En effet, la vitesse de la lumière est considérée comme inaccessible à cause du diviseur 1-v²/c² qui serait nul, et des notions de masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas considérer pour autant, l'existence possible de systèmes pouvant se déplacer dans un espace à cinq dimensions à des vitesses supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait alors pas forcément eu besoin de dépasser la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace temps, resterait à découvrir.
Ces autres solutions au problème ont certainement été entrevues ou évoquées par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux transformations, ont-elles été délaissées ? Je fais appel à qui pourrait m'indiquer une piste. Merci.
