Espace dodécaédrique de Poincaré

[Bart Simpson]

Bonjour ,
"L'espace dodécaédrique de Poincaré est un des candidats potentiel à la forme de l'univers. C'est du moins ce que pense une équipe d'astrophysiciens emmenés par Jean Pierre Luminet... " (Citation de Wikipédia).

Je ne vais pas chercher à comprendre le fonctionnement  en profondeur du dodécaèdre de Poincaré. Du moins pas ici.
J'ai survolé quelque articles et quelque textes sur le sujet. Ça parait fort complexe.

C'est sur la description de ses propriétés que je viens vous poser une question. Car je ne comprends pas bien ce que j'ai lu, il y a un "hic".
Pour commencer je n'ai pas compris si, lorsque parle de l'espace de ce dodécaèdre, on parle bien de ses 12 surfaces en 2D, et non de son volume intérieur.
J'ai cru d'abord qu'il s'agissait bien des faces.
Sur tous les articles que j'ai consultés, il est expliqué que lorsqu'on sort d'une face, on arrive sur la face opposée, après avoir fait une rotation de 36° (rotation de la face si j'ai bien saisi).
Mais alors, si on sort d'une face pour toujours arriver sur la face opposée, on fait un éternel ping-pong entre les deux faces! (qu'importe la rotation de 36°)
On ne peut jamais sortir de ces 2 faces, et les 10 faces restantes sont totalement inaccessible. C'est ça le "hic".

Mais si l'espace du dodécaèdre décrit plutôt son volume,  alors ça résout le problème. On peut voyager dans le volume comme on veut et l'explorer entièrement jusqu'a choisir de se diriger sur une face pour sortir du dodécaèdre. Aussitôt on entre à nouveau dans le volume après une rotation de 36°. On peut alors faire des virages et changer de direction pour aller vers une 3ème face, et ainsi emprunter la porte de chacune des 12 faces.
C'est peut-être comme ça qu'il faut comprendre l'espace de Poincaré: il s'agit bien de son volume intérieur?

Voici le lien Wikipédia qui décris le dodécaèdre:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_dodécaédrique_de_Poincaré
En plus il y a une ambiguïté supplémentaire sur cette fiche wiki: il est précisé à côté de l'illustration que les faces opposées ont la même couleur, alors que ce sont les faces voisines (rouges) qui sont représentées de la même couleur.
 

[22Ney44]

Il y a 15 heures, Bart Simpson a dit :

"L'espace dodécaédrique de Poincaré est un des candidats potentiel à la forme de l'univers. C'est du moins ce que pense une équipe d'astrophysiciens emmenés par Jean Pierre Luminet... " (Citation de Wikipédia).

Bonjour @Bart Simpson,

 

Oui cette citation existe mais c'était en 2003, depuis les choses ont notablement évolué.   Au dodécaèdre - (Platon), a succédé la sphère (Aristote), puis sont venus les cinq polyèdres réguliers emboîtés au sein d'une sphère (Kepler) puis est venu l'espace usuel dit euclidien (Newton).

Toutes ces représentations ont trouvé leurs limites. En 2025 nous ne savons plus très bien (voire plus du tout) à quoi peut ressembler l'Univers. Ce qui fait dire à Roland LEHOUCQ par exemple (qui a collaboré avec J.P. Luminet d'ailleurs) qu'aujourd'hui la forme de l'Univers est "indécidable".

 

Je ne saurais trop attirer votre attention quand vous faites référence à une publication, de bien regarder son âge. Elle pourrait être frappée d'obsolescence !

 

Il y a 15 heures, Bart Simpson a dit :

Je ne vais pas chercher à comprendre le fonctionnement  en profondeur du dodécaèdre de Poincaré. Du moins pas ici.
J'ai survolé quelque articles et quelque textes sur le sujet. Ça parait fort complexe.

 

Rassurez-vous, le dodécaèdre de Poincaré est bien plus facile à appréhender que le délicat problème de la forme de l'Univers. Il existe entre ces deux questionnements plusieurs ordres de grandeur en matière de complexité.

 

Il y a 15 heures, Bart Simpson a dit :

En plus il y a une ambiguïté supplémentaire sur cette fiche wiki: il est précisé à côté de l'illustration que les faces opposées ont la même couleur, alors que ce sont les faces voisines (rouges) qui sont représentées de la même couleur.

 

Quoi ! Il y a une erreur sur internet ? Diable.

 

Ney

 

P.S. : Pourquoi avez-vous ouvert un nouveau fil sur le sujet de la forme de l'Univers, puisque la discussion existait déjà ?

['Bruno]

Il y a 17 heures, Bart Simpson a dit :

On ne peut jamais sortir de ces 2 faces, et les 10 faces restantes sont totalement inaccessible. C'est ça le "hic".

Je n'ai rien compris à l'article de Wikipédia, mais je crois que c'est bien ça : les autres faces sont inaccessibles. L'article parle d'un espace multiconnexe. Un espace connexe, c'est un espace en un seul morceau, en quelque sorte. Multiconnexe, c'est en plusieurs morceaux, et ils sont forcément inaccessibles les uns des autres (sinon ce serait connexe).

 

Bien sûr, si l'espace un « espace dodécaédrique de Poincaré », ce n'est pas la surface d'un dodécaèdre (de même que si l'espace est parabolique, il n'a pas la forme d'une parabole). Mais l'article de Wikipédia (dans sa deuxième partie) ne précise pas ce point.

[Bart Simpson]

Il y a 6 heures, 'Bruno a dit :

Je n'ai rien compris à l'article de Wikipédia, mais je crois que c'est bien ça...

Je ne suis pas leu seul à ne pas comprendre , on est tous les 2 dans le flou
 

Il y a 6 heures, 'Bruno a dit :

Bien sûr, si l'espace un « espace dodécaédrique de Poincaré », ce n'est pas la surface d'un dodécaèdre (de même que si l'espace est parabolique, il n'a pas la forme d'une parabole). Mais l'article de Wikipédia (dans sa deuxième partie) ne précise pas ce point.

Pourtant lorsqu'on compare l'univers à une sphère, l'univers correspond bien à sa surface.
Ensuite en transpose ça à un niveau de dimension supplémentaire et on obtient que notre univers 3D est la surface d'une hyper-sphère.
Dans l'hypothèse du dodécaèdre de Poincaré, j'avais compris une raisonnement similaire: la surface du dodécaèdre n'est qu'un schéma simplifié, et l'univers serait la surface d'un hyper-dodécaèdre.
C'est ce que j'avais compris au début, mais je suis dans le flou...

Mais si l'espace de Poicarré est bien le volume à l'intérieur du dodécaèdre, alors il n'y a plus d'effet de ping-pong. Chaque endroit du volume est accessible ainsi que chaque face. Simplement lorsqu'on travers une face vers l'extérieur, on ne sort pas du volume dodécaédrique, mais on rentre à nouveau par une autre face.

 

Il y a 8 heures, 22Ney44 a dit :

 Pourquoi avez-vous ouvert un nouveau fil sur le sujet de la forme de l'Univers, puisque la discussion existait déjà ?

Bonjour Ney,
Certes ce nouveau fil n'est pas sans rapport avec celui sur la forme de l'univers. Il pourrait être contenu à l'intérieur.
Mais dans ce fil là, on n'y a déjà replié, étiré et distordu l'univers dans tous les sens. Je souhaitais donc ouvrir un nouveau fil pour se consacrer spécialement au dodécaèdre sans s'éparpiller dans toutes les dimensions  .

En fait je n'ai toujours pas compris si l'espace du dodécaèdre de Poincaré décrit la somme de ses 12 facettes planes, ou bien si il décrit le volume intérieur.
Ça change complètement la donne, il est inutile de chercher a comprendre le fonctionnement des portes si on ne sait pas de quoi on parle.
Mais c'est la seconde hypothèse qui est la bonne n'est ce pas? On parle bien du volume?
Demande le schtroumpfs égaré au grand schtroumpf...

[22Ney44]

il y a 3 minutes, Bart Simpson a dit :

Je souhaitais donc ouvrir un nouveau fil pour se consacrer spécialement au dodécaèdre sans s'éparpiller dans toutes les dimensions

Bonsoir @Bart Simpson,

 

Je n'avais pas compris que vous vouliez vous intéresser au dodécaèdre spécifiquement. Vous abandonnez donc la recherche de la forme de l'Univers ? En tout cas la communauté scientifique ne retient plus du tout ce modèle comme une hypothèse valide de modélisation de notre Univers. La réalité est même au delà, ils et elles n'ont plus rien de solide dans la besace théorique pour émettre une hypothèse conforme aux observations. Ce n'est pas souvent que cela arrive.

 

Ney

[Bart Simpson]

Oui je m'intéresse particulièrement au dodécaèdre de Poincaré.
Cela indépendamment de la forme de l'univers.

Pour cette autre question qu'est la forme de l'espace-temps, traitée dans l'autre fil, j'ai déjà apris une notion essentielle: il n'y a pas de 4ème dimension.
Cela corrige une vieille idée faute qui était ancrée en moi. Je retiens que la forme de l'univers est "indécidable". Et en tout cas ignorée, mais cela on s'en doutais un peu . Réfléchir sur le fait que l'univers puisse être courbe, de façon cyclique, sans invoquer de dimension supérieur va déjà me faire réfléchir pendant un petit moment... Mais là, nous revenons à l'autre fil de discussion...

En effet je m'intéresse au dodécaèdre d Poincaré, parce qu'il fût jadis un candidat à la forme de l'univers (ce qui me poussa à aller à sa rencontre par le passé).
Et même si il a été écarté de cette potentialité, il n'en n'est pas moins pour autant un objet intéressant.
Ça fait une dizaine d'année que j'avais lu un article sur le dodécaèdre. À l'époque j'avais compris l'objet, comme la somme de ses surfaces. Un espace 2D pour schématiser simplement notre espace 3D (habitué à voir des tores 2D qui schématisent des univers en hyper-tore 3D). Puis j'ai retenu bêtement la propriété amusante qu'on sortait d'une face en entrant sur la face opposée. J'imaginais une fusée plate qui voyageait sur un octogone puis qui en sortait lorsqu'elle rencontrait un côté, donc pour réapparaître par le côté de l'octogone opposé (façon Pacman sur les côtés de son labyrinthe). J'ai gardé en tête cette image, jusqu'a ce que, en y repensant de temps en temps, je me rende compte du hic: la fusée faisait le ping-pong entre 2 faces uniques. Le reste du dodécaèdre restait une partie de l'objet isolé et inaccessible. C'est là que j'ai remis en cause ma vision première et me suis dit que je n'avais probablement rien pigé!

Et tant pis s'ił n'est pas l'univers, il n'en n'est pas pas moins un Dodécaèdre de Poincaré tout de même!

 

Modifié 16 septembre par Bart Simpson

['Bruno]

L'espace dodécaédrique de Poincaré n'est pas un dodécaèdre (sinon on l'appellerait dodécaèdre). Il me semble que ce n'est pas non plus un hyper-dodécaèdre. Si j'ai bien compris, l'ensemble des pentagones courbes à la surface d'une sphère, le truc qui est dessiné dans l'article, est une représentation bidimensionnelle de cette objet, pas la version 2D. Par exemple un disque est la version 2D d'une boule (ou un cercle d'une sphère), mais un hyperboloïde n'est pas la version 2D d'un espace hyperbolique, c'est une représentation : une sorte de schéma qui aide à mieux comprendre.

 

Le fait qu'en sortant d'une face on entre dans la face opposée ne signifie pas qu'on passe à l'intérieur : il n'y a pas d'intérieur. Sur la représentation avec les pentagones (le ballon de foot), il faut voir que si un puceron se balade sur une face, lorsqu'il arrive au bout, il disparaît immédiatement et réapparaît sur la face opposée. Mieux : quand il est à la frontière, la moitié de son corps et sur la première face, et l'autre moitié sur la face opposée. Et il ne pourra jamais atteindre une des dix autres faces : pour ça, il faudrait qu'il sorte de sa face actuelle, or quel que soit le bord qu'il veut traverser pour en sortir, il réapparaîtra sur la face opposée.

 

Mais là je décris ce qui se passe sur la représentation. Que se passe-t-il dans l'espace dodécaédrique ? C'est un espace sans bord (je l'ai lu dans l'article "sphère d'homologie" de Wikipédia dont je n'ai pas compris grand chose non plus). Donc les bords des pentagones n'existent pas physiquement (c'est juste une représentation). Dans un tel espace, je ne comprends pas ce que signifie passer d'un pentagone au pentagone opposé. Mais je crois comprendre ce que signifie que 10 faces sont inaccessibles : en gros, il y a 6 paires face - face opposée, donc 6 régions de cet espace à partir desquelles on ne peut pas accéder, pour des raisons géométriques (et d'une géométrie particulière : celle de l'espace dodécaédrique de Poincaré), aux 5 autres.

[22Ney44]

Bonjour @Bart Simpson,

 

Vous semblez aimer faire chauffer le neurone. Aussi plutôt que de passer du temps sur le dodécaèdre de Poincaré, qui en soi est un "objet" théorique passionnant, je vous propose de vous intéresser (découvrir) aux variétés de Calabi-Yau. Cette branche des mathématiques remet en selle la théorie des cordes et des supercordes. Elle "facilite" l'ascension vers la gravité quantique, et par son principe de compacification, aide à manipuler les objets de dimensions 11 par exemple, 10 pour les cordes et une pour le temps. Bien que la compréhension de la forme de l'Univers ne soit pas pour demain, la promesse de la théorie ci dessus visant à modéliser la gravité quantique aidera à progresser vers la forme de l'Univers. En effet la contribution de la gravité est maintenant admise comme majeure, ce qui n'est pas une surprise. Cependant n'oublions pas que la gravité n'est restée quantique que jusqu'au franchissement du mur de Planck lors du Big Bang. A titre personnel j'éprouve ainsi beaucoup de difficulté à concevoir le fait que la gravité puisse encore être quantique de manière "naturelle" tant nous sommes maintenant éloignés des conditions nécessaires pour qu'elle le soit.

 

Les variétés de Calabi-Yau sont une évolution majeure des travaux de Theodor KALUZA en 1919 dans la droite ligne de la Relativité générale et perfectionné peu après par le physicien Oskar KLEIN par ajout de dimensions cachées d'une part mais surtout par le concept d'enroulement qui ouvre la voie aux boucles, boucles que l'on retrouve quasi généralisées dans de nombreux modèles aujourd'hui.

 

Ney

['Bruno]

Bonne idée, les variétés de Calabi-Yau, mais d'abord Bart Simpson devra passer un doctorat en topologie différentielle, sinon il aura du mal.

 

(Je crois qu'on s'éloigne des préoccupations de Bart Simpson. Je serais lui, je m'intéresserais aux diagrammes d'espace-temps, par exemple ceux que J.-P. Luminet présente dans son livre Le destin de l'univers.)

[Bart Simpson]

Je suis en train de regarder cette vidéo fort intéressante de Nicolas Bergeon :
 

L'espace Dodécaédrique de Poincaré (Bruno: en effet ce n'est pas un "dodécaèdre" proprement dit, j'écrivais cela ainsi par raccourcis d'écriture) y est décrit dès le début comme un volume (et non comme une addition de 12 faces selon le débat en cour  ).
Cet espace possède en fait au final 6 faces (malgré qu'on en voit 12 sur le schéma) et 10 arêtes (malgré qu'on en voit 30). Lorsqu'on sort du face (après s'être promené dans le volume du dodécaèdre, on entre à nouveau par la face opposé. Mais en réalité, ces 2 face oposées ne sont qu'une seule et même face, et elles ne comptent que pour une seule.
Enfin, il faut regarder la vidéo pour le comprendre bien. je trouve ça absolument passionnant!
En plus Il fait une analogie avec Pacman, ce qui me ravi Mais il préfère les avion aux fusée ...
Mais je n'ai pas lue encore toute la vidéo, elles est assez longue, je la regarde par petit morceaux.

Ney: merci pour l'ouverture vers les variétés de Calabi-Yau. Je n'en n'ai jamais entendu parlé.
Mais je vais pour le moment terminer de faire le tour de la question sur l'espace de Poincaré. Ensuite j'ouvrirais la porte Calabi-Yau