Enigmes du Monde

[Fred_76]

Bonjour,

 

Voici une énigme sympa trouvée dans Le Monde :

Le code secret, l’énigme maths du « Monde » n° 56

 

Après une âpre discussion avec mon fils, scientifique dans l'âme et informaticien physicien, j'ai légèrement modifié le texte d'origine pour éviter les palabres sur l'avant dernier indice...

Citation

 

Le code secret, l’énigme maths du « Monde » n° 56

La ligne de bus que j’emprunte tous les jours dessert le laboratoire de mathématiques de la ville, et c’est ainsi qu’il m’arrive régulièrement d’intercepter d’étranges conversations. Pas plus tard qu’hier, j’entendis (malgré moi) un échange entre les deux personnes assises derrière moi.

— Tu as le nouveau code d’accès à la salle de conférences, il paraît qu’ils l’ont changé hier ?

— Oui, je l’ai reçu, répondit sa collègue, d’ailleurs j’ai remarqué quelques détails amusants sur ces six chiffres ! Le nombre formé par le premier et le deuxième chiffre est un nombre premier. Le nombre formé par le deuxième et le troisième chiffre est un nombre carré. Le nombre formé par le troisième et le quatrième chiffre est à nouveau premier et le nombre formé par le quatrième et le cinquième encore un carré. Quant au nombre formé par le cinquième et le sixième, il est…

A cet instant, une moto passa bruyamment à hauteur du bus, m’empêchant d’entendre la fin le dernier mot de la phrase. Quelques secondes plus tard, le premier mathématicien reprit avec hésitation.

— Je ne crois pas que ces indices me permettent de retrouver le code…

— Ah oui, reprit la mathématicienne, le sixième chiffre n’est pas égal au quatrième !

Après quelques secondes supplémentaires, j’aperçus le visage de l’homme s’éclairer.

— Parfait, s’exclama-t-il. Cette fois, je l’ai !

De mon côté, je ne voyais vraiment pas comment il m’aurait été possible de trouver le code alors qu’un des indices m’avait échappé. A moins que…

Sauriez-vous déterminer le nouveau code à six chiffres de la salle de conférences ?

 

 

J'ai trouvé LA solution, à vous de la trouver !

[joker0247]

Amusant ! J'ai trouvé une solution qui fonctionne, mais est-elle unique je ne sais pas...🙂

Modifié 6 mai par joker0247
Correction de l'orthographe et des fautes de frappe

[Fred_76]

Il y a 1 heure, joker0247 a dit :

Amusant ! J'ai trouvé une solution qui fonctionne, mais est-elle unique je ne sais pas...🙂

Seul le raisonnement conduisant à l’unicité de la solution permet de trouver la bonne combinaison. Il ne faut pas oublier que ce sont des mathématiciens, donc ce qu’ils disent est nécessaire certes, mais est aussi suffisant. 

[joker0247]

Merci pour tes conseils  

[Vince84]

Toujours très fort ce Mickaël Launay!

[Fred_76]

La solution :

 

Ah ah ah !

[Fred_76]

Notons D1 D2 D3 D4 D5 D6 les 6 chiffres qui composent le code.

 

A. Le nombre formé par le premier et le deuxième chiffre est un nombre premier

 

Cette proposition se traduit en D1D2 est un nombre premier à 2 chiffres. Les possibilités sont :
01, 02, 03, 05, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97

Le premier chiffre D1 est : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Le second chiffre D2 est : 1 2 3 5 7 9
 

Plus particulièrement :

si D2 = 1, D1 = 0 1 3 6
si D2 = 2, D1 = 0 
si D2 = 3, D1  = 0 1 2 4 5 7
si D2 = 5, D1 = 0
si D2 = 7, D1 = 0 1 3 4 6 9

 

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	1 2 3 5 7 9	?	?	?	?

 

B.      Le nombre formé par le deuxième et le troisième chiffre est un nombre carré.

 

Cette proposition se traduit en D2D3 est un nombre carré à 2 chiffres. Les possibilités sont limitées :
04 09 16 25 36 49 64 81

Le premier chiffre D2 est : 0 1 2 3 4 6 8

Mais il ne faut retenir que ceux en commun avec la liste dans A. Il ne reste que :
D2 = 1 2 3

Si D2 = 1, le carré est 16 donc D3 = 6 et aussi D1 = 0 1 3 4 6 7
Si D2 = 2, le carré est 25 donc D3 = 5 et aussi D1 = 0
Si D2 = 3, le carré est 36 donc D3 = 6 et aussi D1 = 0 1 2 4 5 7

 

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0 1 3 4 6 7 0 0 1 2 4 5 7 8	1 2 3	6 5 6	?	?	?

 

C.      Le nombre formé par le troisième et le quatrième chiffre est à nouveau premier

 

Cette proposition se traduit en D3D4 est un nombre premier à 2 chiffres.
On sait en B. que D3 est égal à 3 ou à 5.

Si D3 = 5, les nombres premiers sont 53 et 59, donc D4 = 3 9
Si D3 = 6, les nombres premiers sont 61 et 67, donc D4 = 1 7

 

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0 1 3 4 6 7 0 0 1 2 4 5 7 8	1 2 3	6 5 6	1 7 3 9 1 7	?	?

 

D.      le nombre formé par le quatrième et le cinquième encore un carré

 

Cette proposition se traduit en D4D5 est un nombre carré à 2 chiffres.
D4 est égal à 1 3 7 9

Si D4 = 1, le seul carré est 16, donc D5 = 6
Si D4 = 3, le seul carré est 36, donc D5 = 6
Si D4 = 7 ou 9, aucun carré n'existe, donc D4 ne peut pas être 7 ou 9.

 

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0 1 3 4 6 7 0 0 1 2 4 5 7 8	1 2 3	6 5 6	1 3 1	6	?

 

E.      Quant au nombre formé par le cinquième et le sixième, il est…

 

Ah aha ah !

 

F.      Le sixième chiffre n’est pas égal au quatrième !

 

Hi hi hi !

 

Préambule à la solution

 

D1	D2	D3	D4	D5	D6
0 1 3 4 6 7	1	6	1	6	?
0	2	5	3
0 1 2 4 5 7 8	3	6	1
est premier		est premier		??
	est un carré		est un carré
			D4 <> D6

 
 

 

Je vous laisse poursuivre !

 

A+

 

Fred

 

PS : si en E. on considère que le mot manquant est "Niven" ou "Harshad", il y a une autre solution valable.

 

 

[Devin_plombier]

Bonjour,

J'arrive effectivement à une solution unique respectant l'énoncé mais j'ai un problème avec ton PS @Fred_76 :
Avec le mot "harshad" et en se basant sur ton tableau, on se retrouve avec 13 solutions possibles, il me semble ?

Il y aurait une solution unique avec une proposition F inversée (D4=D6), non ?

A bientôt.

 

MAIS PAS DU TOUT !

Modifié 9 mai par Devin_plombier
Erreur de raisonnement

[Fred_76]

il y a une heure, Devin_plombier a dit :

Bonjour,

J'arrive effectivement à une solution unique respectant l'énoncé mais j'ai un problème avec ton PS @Fred_76 :
Avec le mot "harshad" et en se basant sur ton tableau, on se retrouve avec 13 solutions possibles, il me semble ?

Il y aurait une solution unique avec une proposition F inversée (D4=D6), non ?

A bientôt.

Je t’ai répondu en MP…

[DDS]

Bonjour @Fred_76 

Moi aussi je trouve la solution unique, sans tenir compte du PS, comme @Devin_plombier.

Mais, je me trouve également avec les 13 solutions possibles en cas de harshad.

Et je ne vois pas la subtilité... 

[Devin_plombier]

Il y a 1 heure, DDS a dit :

Bonjour @Fred_76 

Moi aussi je trouve la solution unique, sans tenir compte du PS, comme @Devin_plombier.

Mais, je me trouve également avec les 13 solutions possibles en cas de harshad.

Et je ne vois pas la subtilité... 

 

Pour "faire pénitence" suite à mes errements passés, j'ai à mon tour répondu à @DDS en MP...

[Fred_76]

Il y a 3 heures, DDS a dit :

Bonjour @Fred_76 

Moi aussi je trouve la solution unique, sans tenir compte du PS, comme @Devin_plombier.

Mais, je me trouve également avec les 13 solutions possibles en cas de harshad.

Et je ne vois pas la subtilité... 

 

salut !

 

Ne pas oublier qu’un mathématicien qui se respecte est avare de ses paroles et s’il dit une chose, c’est qu’elle est nécessaire et suffisante. Si ce n’est pas le cas, c’est qu’il faut exclure ce qui est en contradiction avec ce lemme.

[DDS]

Il y a 11 heures, Fred_76 a dit :

 

salut !

 

Ne pas oublier qu’un mathématicien qui se respecte est avare de ses paroles et s’il dit une chose, c’est qu’elle est nécessaire et suffisante. Si ce n’est pas le cas, c’est qu’il faut exclure ce qui est en contradiction avec ce lemme.

Je suis bien d’accord. Mais je retrouve maintenant avec 14 choix possibles. 

Comment le mathématicien peut-il décider ? 

 

Edit: OK, ce matin, ça va mieux. J’ai saisi la nuance qui permet d’exclure tous les cas sauf un. 

Modifié 15 mai par DDS

[Amaretto]

Bonjour

Je vous joins la solution originale donc attention spoiler 

 

Indice initial donne par l'auteur :

 

.érrac nu’d seniazid sed te reimerp nu’d sétinu sed erffihc siof al à tse erffihc emèixued eL

 

Solution complète :

 

Intéressons-nous d’abord au deuxième chiffre du code : d’après les indices, il est à la fois le chiffre des unités d’un nombre premier et le chiffre des dizaines d’un nombre carré. Aucun nombre premier n’a pour chiffre des unités 0, 4, 6 ou 8, sans quoi ce nombre serait pair (le seul premier pair étant 2). Par ailleurs, entre 0 et 99, aucun nombre carré n’a pour chiffre des dizaines 5, 7 ou 9 (entre 40 et 99, il n’y a que 7 × 7 = 49, 8 × 8 = 64 et 9 × 9 = 81). Le deuxième chiffre du code ne peut donc être que 1, 2 ou 3. S’il s’agit de 1, alors le troisième chiffre est 6 (16 est le seul carré qui commence par un 1), puis le quatrième est 1 (61 et 67 sont premiers, mais ce ne peut être 67 car aucun carré ne commence par un 7), puis le cinquième est 6 (16 est toujours le seul carré qui commence par 1). Le code a donc la forme X1616X (ou les X restent à déterminer). Par le même raisonnement, si le deuxième chiffre est un 2 ou un 3, le code a respectivement la forme X2536X ou X3616X.
Il y a donc trois configurations possibles, mais lorsque le mathématicien apprend que le quatrième et le sixième chiffre ne sont pas égaux, il parvient à éliminer deux des trois cas pour en déduire le code. Il a donc appris à ce moment que le quatrième chiffre n’est pas égal à 1, ce qui exclut X1616X et X3616X. Nous savons donc que le code a la forme X2536X et que le sixième chiffre doit être égal à 1. Le premier chiffre vaut alors 0, puisque 02 est le seul nombre premier se terminant par 2.
Le code est 025361.