Essai de Démonstration, et remarques à propos des transformations de Lorentz.

[GW17]

           Bonjour sur le forum. 

  INTRODUCTION : 

  J'essaie ici de trouver mon propre chemin vers la compréhension et la formulation des transformations de Lorentz. 
  Gageant que pour bien s'approprier et comprendre une idée, rien n'est mieux que d' essayer de  la retrouver par soi-même, j'en tente l'aventure.
  Grâce aux lecteurs du forum,  je me suis rendu compte que mes précédents essais étaient faux. 
  Suite à un temps de réflexion, notamment sur les questions de simultanéité et de définition des coordonnées d'un objet, je persévère à tenter "d'inventer" ma propre méthode pour comprendre et résoudre les fameuses transformations de Lorentz.

Ayant beaucoup oublié de ma formation en mathématiques d'il y a cinquante ans, je me suis servi des souvenirs très basiques qui me restent. Au moins ainsi, je me dis que cet essai, s'il s'avère suffisamment correct, peut servir au delà qu'à moi-même, à la vulgarisation de la théorie relativiste.

   J'espère cette fois m'être enfin rapproché de mon but. Merci à mon lecteur pour sa patience.

  Merci aussi si vous voulez donner votre avis sur ce texte. 

NOTE SUR LES INDEXATIONS :

  Pour rendre les différentes valeurs compréhensives dans chacun des systèmes :
  Mts, "M à l'instant t sur S", représente le point M à l'instant t considérant le système S.
   De même, Mt's' représente le point M à l'instant t' sur le système S'.
OMts = xts est la coordonnée  du segment OMts sur l'axe des x à l'instant t de S.
  O'Mt's' = x't's' est la coordonnée  du segment O'Mt's' sur l'axe des x à l'instant t' en référence à  S'. C'est aussi l' abcisse du point M sur S'.
  M1M2ts est la coordonnée  du segment M1M2 sur l'axe des x, en référence à S, etc.
  
  ESSAI DE DÉMONSTRATION :

  S et S' sont deux référentiels galiléens aux repères d'origines respectives O et O'. 
  S' est en translation rectiligne uniforme de vitesse v positive par rapport à S. Le mouvement est sur l'axe des x que les deux systèmes ont en commun. 

  On est dans le vide. M est un point fixe de S sur l'axe des x dont le rayonnement lumineux est perçu en O. Pour simplifier, on choisit  cet instant de réception pour placer l'origine O' en O. M représente un objet physique. C'est donc son photon perçu par l'observateur situé en O, ou en O', suivant le référentiel, qui définira ses coordonnées. 
  O't's'Mt's'=ct', de même OtsMts=ct car la vitesse c de la lumière dans le vide est constante, selon la théorie de la relativité restreinte, pour tous les systèmes galiléens, c'est à dire non accélérés.
  Ce signal a parcouru la distance ct de M à O sur S. Sur S', il aura parcouru la distance ct' pour être perçu en O' au temps t'.
Par définition Mts=Mt's' puisque c'est le même photon partant de M qui arrive en O et O' aux temps respectifs t et t'. 
  D'où, comme M est un point fixe dans le repère S :
OMts=OMt's'. 
  Par contre, O'Mts=O'Mt's'  serait faux car M est en mouvement dans ce système. Reprenons :

OMts=OMt's'=OO't's'+x'
  Et comme O' s'est déplacé de OO't's'=vt'=vx'/c          , on trouve
x=vx'/c+x'=(1+v/c)x'
x'=x/(1+v/c)

  Ce qui donnerait, pour les écarts aux temps t et † pour Mt et M†, points fixes de S :

O't's'Mt's'-O'†'s'M†'s'=(OMts-OM†s)/(1+v/c) , ou
∆xs'=∆xs/(1+v/c)  si v/c ≠ 1

  Pour être correcte, la formulation recherchée se doit de respecter la règle d'isotropie de l'espace.
  Donc la même valeur d'écart doit exister pour les mêmes points des deux systèmes si l'on inverse v en -v , c'est à dire si maintenant O' s'éloigne de M. On aurait alors l'expression de cette valeur en écrivant :
∆xs'=∆xs/(1-v/c)  si v/c ≠ 1

  Ces deux égalités sont insatisfaisantes, et s'excluent mutuellement. Ni l'une ni l'autre prise isolément, n'est conforme à la règle d'isotropie spatiale.
  Par contre, en multipliant ensemble ces deux formulations du même écart, on trouve l'équation générale vraie alors pour v et -v :

(∆xs')²=(∆xs)²/(1-v²/c²) 

  D'où, si |v/c| ≠ 1  et 1-v²/c²  positif les 2 solutions sur R :

∆xs' =  ∆xs/√(1-v²/c²)      , et

∆xs' =-∆xs/√(1-v²/c²)   : impossible car Mt et M† ne peuvent pas s'inverser dans leur arrivée en O' si v/c > 0, ceci selon les deux égalités d'origine pour v comme pour -v, où ∆xs et ∆xs' ont même signe.

  Classiquement, si l'on applique la notation xt's'=x' et xts=x, on obtient l'expression des écarts des coordonnées en posant b=1/√(1-v²/c²) 

∆x' = ∆x /√(1-v²/c²)=b∆x

POUR LES COORDONNÉES des points Mts et Mts', maintenant : 

  On aurait, pour  la situation particulière où M†s serait en O', O'†'s'M†'s'=0 
  Et comme
O't's'Mt's'-O'†'s'M†'s'=b(OMts-OM†s), 
  Par suite,
O't's'Mt's'= b(OMts-OO'ts)
O't's'Mt's'=b(OMts-vt), 
soit 
x'=b(x-vt)
x'=(x-vt)/√(1-v²/c²) 

  Puis en divisant par c l'expression :
x'=b(x-vt), 
  On obtient
t'=b(x/c-vt/c) ou encore
t'=b(t-vx/c²)
  soit
t'=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)

  Ce qui donne pour un point M, la transformation de l'intervalle temps :

∆t'=∆t /√(1-v²/c²)  et ∆t<∆t'

  Par exemple si ∆t'/∆t=2, deux secondes sur S' correspondraient à 1 seconde sur S. S pourrait être la fusée et S' la terre. Par contre, si l'on se place du point de vue de la terre comme système local "fixe"S, c'est l'inverse.
√(1-v²/c²)=1/2
1-v²/c²=1/4
v²/c²=3/4
v=c.√3/4=1/2c.√3
v ≈ 0,87c
  L' écart temporel ∆t du système choisi pour l'observateur local "fixe", est toujours inférieur à celui mesuré sur le système en mouvement relatif. 

  Morale de l'histoire : Si les voyages forment la jeunesse... Ils déracinent un peu !

 CONCERNANT LES LONGUEURS :

  Du point de vue du système S, mesurer la longueur d'un segment de S', correspondrait à la prise d'une photo d'une longueur étalon ∆l' mesurée au repos sur S.'  
  L'idéal serait que cette photo soit prise au passage de S quand O se trouve au milieu du segment mesuré. L'observateur doit être considéré au repos sur S' pour que la mesure corresponde bien à l'étalon de S'.
  Dans ces conditions, S devient en mouvement relatif à vitesse -v par rapport à cette longueur étalon de S'. la longueur ∆l mesurée sur S serait donc :

∆l=∆l'/√(1-v²/c²)=b∆l'  et b>1 ou, 
  
Si ∆l est la longueur mesurée sur le système fixe :
∆l'=∆l√(1-v²/c²)

 Une fusée allant à une vitesse proche de celle de la lumière, mesurant 1m à son bord, pourra apparaître mesurer 2 mètres pour un observateur terrestre, lors de son passage près de la terre.

  Et autrement dit :

∆x/∆x'=√(1-v²/c²) est un rapport toujours inférieur à 1 si v est non nul, donc un écart ou une longueur |∆x| mesurée sur le système de référence fixe sera perçu comme supérieur par le système en mouvement relatif.

  Si O représentait un observateur de la terre et O' une fusée s'en éloignant à la vitesse constante v, la longueur |∆x| = ∆l de deux points immobiles du système "fixe" terrestre, soit par exemple ceux du diamètre de la terre, serait, mesurée depuis la fusée, supérieure à ∆l.
  
  Si O représentait un observateur de la fusée et O' la terre s'en éloignant à la vitesse constante v, la longueur ∆l de la fusée par exemple, mesurée du système fixe fusée, serait inférieure à la même distance mesurée par l'observateur depuis la terre.

  REMARQUE GÉNÉRALE : 

  Pour résoudre le problème, on a dû supposer 1-v²/c² non nul. 
  Si 1-v²/c² est nul,  soit v=c, la résolution est impossible.
  Mathématiquement, sur R, il faut aussi que 1-v²/c² soit positif pour en extraire la racine. Ceci a donné la solution précédente. 

  Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires, il existe encore des solutions si 1-v²/c² est négatif, soit, si v, la vitesse de S' par rapport à S, est supérieure à c.
  Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment S' pourrait recevoir le signal de M venant du système S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ? 
  Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de calcul, on aurait alors deux autres solutions pour 1-v²/c² négatif, dans un espace imaginaire", en :
i √(v²/c²-1)     et      -i √(v²/c²-1)    ou bien :
i √I1-v²/c²I     et       -i √|1-v²/c²I
 
  Plus généralement, on aurait pour les transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/  i √(v²/c² -1)   , et
x' = (x- vt)/-i  √(v²/c² -1)

  Puis comme 1/i=-i :

x' = -i (x- vt)/ √(v²/c² -1)
x' =  i (x- vt)/ √(v²/c² -1)

  En effet, la vitesse de la lumière est considérée comme inaccessible à  cause du diviseur 1-v²/c² qui serait nul, et des notions de masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas considérer pour autant, l'existence possible de systèmes pouvant se déplacer dans un espace à cinq dimensions à des vitesses supra-luminiques par rapport à S ? 
  La matière dans cet autre espace, n'aurait alors pas forcément eu besoin de dépasser la vitesse de la lumière pour y exister.   
  Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées imaginaires comme le proposent ces calculs.
 Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace temps, resterait à  découvrir.
 Ces autres solutions au problème ont certainement été entrevues ou évoquées par le grand Albert Einstein et d'autres.
 Pourquoi en tout cas, ces solutions aux transformations, ont-elles été délaissées ? Je fais appel à qui pourrait m'indiquer une piste. Merci.
 

[22Ney44]

Le 11/11/2025 à 10:50, GW17 a dit :

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires, il existe encore des solutions si 1-v²/c² est négatif, soit, si v, la vitesse de S' par rapport à S, est supérieure à c.

 Bonjour @GW17,

 

Avez-vous "creusé" la situation un jour possible, où deux objets, chacun dans son référentiel S et S' s'écartera l'un de l'autre d'une distance supérieure à 300 000 km chaque seconde ? Je parle ici de la dilatation de l'Univers.

 

La question que je me pose et que je n'arrive pas à modéliser est : " Lorsque la distance entre deux objets de l'Univers augmentera de plus de 300 km chaque seconde, à l'instant précis du franchissement de cette valeur, n'y aurait-il pas un "renversement" de la constante de Hubble engageant alors un "Big Crunch" ?

 

Vous avez tout votre temps.

 

Ney

[charpy]

ca disparait juste derriere un horizon. comme pour un trou noir. mais qu’en est il de l’entropie du systeme vu qu’il n’y a plus d’echange d’information?

 

et meme question pendant la période d’inflation au début de l’univers... 

 

[GW17]

Bonjour sur le forum, bonjour Charpy et 22Ney44.

 

D'après les équations dites "transformations de Lorentz", le franchissement de la vitesse de la lumière est impossible, à cause de √1-v²/c² qui devient de plus en plus petit , puis nul si v=c.

Diviser par un terme qui s'approche de zéro revient à produire un résultat tendant vers l'infini.

Il semble par ailleurs, qu'Einstein avait pour une raison qui m'échappe, éliminé les résultats non formulés en nombres réels.

Par contre, comme je le montre ci-dessus, les TDL (Transformations De Lorentz) admettent des solutions dans les nombres complexes, ce qui introduirait des résultats inédits dans le monde des Réels, celui des mesures de la physique actuelle.

La dimension des nombres imaginaires n'est pour l'instant qu'un outil mathématique, non une entité physique. Je ne sais pas même si un physicien a théorisé sur cette question.

On est donc dans une situation mathématique où la vitesse de la lumière, qui ne peut être atteinte, pourrait cependant être dépassée dès l'origine... Mais dans un monde totalement hypothétique et jamais perçu expérimentalement.

Cette hypothèse a certainement animé la recherche des tackyons, particules supposées voyager à vitesse supra luminique dès leur naissance. Les résultats des expériences ne sont pas concluants pour l'instant.

Cordialement.

[MKPanpan]

Je ne suis pas certain de saisir toute la question, et les nombres imaginaires datent aussi pour moi.

 

Mais je répondrais que la Relativité Restreinte d'Einstein présuppose que "c" est une vitesse limite infranchissable.

Si ce n'est pas le cas, la Relativité Restreinte n'a plus de sens.

 

D'autre part, ce n'est pas parce qu'un calcul mathématique est exact que cela représente une réalité physique : un trou blanc est autant une réalité mathématique qu'un trou noir, mais seulement l'un d'entre eux a une existence prouvée physiquement.

 

Il faudra donc en plus du calcul avoir une explication physique qui tient la route (sous-entendu qui s'accorde avec les modèles.)

[GW17]

   Merci, MKPanpan.

La relativité ne le présuppose pas, mais conclut au fait, par les calculs, que c est une vitesse limite. 

Tout à fait d'accord pour le reste et la question de la pertinence physique fragile des résultats mathématiques.

N'empêche que ces résultats ont l'avantage de susciter des expériences et recherches nouvelles.

Est-ce que ce ne sont pas justement ces allers retours entre théorie et expériences qui font la science ?

Par exemple pour la relativité, les expériences de l'interféromètre de Michelson et Morley, la théorie de la relativité restreinte, puis les autres mesures de la vitesse de la lumière...

[22Ney44]

Il y a 2 heures, GW17 a dit :

N'empêche que ces résultats ont l'avantage de susciter des expériences et recherches nouvelles.

Bonsoir @GW17,

 

Absolument ! C'est même ainsi que nait une nouvelle voie expérimentale. Les physiciens théoriciens élaborent des modèles mathématiques toujours plus complexes, les physiciens expérimentaux imaginent alors des démarches de physique pour tenter de donner un sens physique aux équations. 

Les productions théoriques du grand Albert sont toujours sources d'expérimentations, la détection d'ondes gravitationnelles en est l'une des dernières réalisations démontrées.

 

Ney 

['Bruno]

Le 13/11/2025 à 11:21, 22Ney44 a dit :

Avez-vous "creusé" la situation un jour possible, où deux objets, chacun dans son référentiel S et S' s'écartera l'un de l'autre d'une distance supérieure à 300 000 km chaque seconde ? Je parle ici de la dilatation de l'Univers.

Je pense que ce n'est pas le bon de point de vue. Ce qui se dilate, c'est la métrique. Si le décalage vers le rouge est supérieur à 1, ce n'est pas une question de vitesse mais de dilatation de la métrique. L'expansion de l'univers ne viole pas la relativité restreinte (mais la relativité restreinte est insuffisante pour décrire l'expansion de l'univers).

  

Le 13/11/2025 à 11:21, 22Ney44 a dit :

Lorsque la distance entre deux objets de l'Univers augmentera de plus de 300 km chaque seconde, à l'instant précis du franchissement de cette valeur, n'y aurait-il pas un "renversement" de la constante de Hubble engageant alors un "Big Crunch" ?

Ça n'a rien à voir. Je détaille.

Loi de Hubble : v = H d (v = vitesse de récession, H = constante de Hubble, d = distance [il me semble que c'est la distance luminique]).

La vitesse de récession est supérieure à c (vitesse de la lumière) lorsque H d > c c'est-à-dire lorsque d > c/H.

Aujourd'hui, H ~70 km/s par Mpc, il faut donc d > 4,3 GPc = 14 Gal (environ).

Aujourd'hui, avec l'inflation, l'univers est bien plus grand que 14 Gal, donc il existe déjà deux endroits qui sont à une distance au moins aussi grande, et pour lesquels l'un a une vitesse de récession de plus de 300 000 km/s vue depuis l'autre.

D'ailleurs il n'est pas exclu que l'univers soit infini. Dans ce cas, à tout instant il existait deux endroits dont la distance était supérieure à c/H (quel que soit le taux d'expansion à cette époque, H est >0 [H=0 signifierait un univers statique], donc cette valeur c/H existe et est forcément dépassée dans un univers infini). Autrement dit, à tout instant il y a eu deux endroits avec une vitesse de récession de l'un vue de l'autre supérieure à 300 000 km/s. À tout instant = y compris au tout début de l'univers.

  

Il y a 22 heures, charpy a dit :

mais qu’en est il de l’entropie du systeme vu qu’il n’y a plus d’echange d’information?

Qu'est-ce que tu appelles "information" ? (Je lis de temps en temps cette expression. Eh bien aussi surprenant que ça puisse paraître, j'ai plusieurs fois posé cette question sans jamais obtenir de réponse. Il semble que ce soit un secret jalousement gardé...)

[charpy]

c’est  le lien entre le quantique et le macroscopique. chaque particule est définie par un certain nombre de parametres, masse, spin... et si l’info n’est plus accessible ou disparait du systeme ’’univers’’ et ca viole le premier principe de la thermodynamique.

 

c’est grace  a cela qu’hawking a trouve l’évaporation des trous noirs.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_l'information

['Bruno]

Merci pour le lien ! Mais je ne comprends toujours pas ce qu'est l'information. D'après le texte ça pourrait être un état physique ou une fonction d'onde, mais on ne l'appellerait alors pas information (sinon pour brouiller − d'ailleurs le lien de l'article mène à un article qui parle de sciences de l'information, donc rien à voir). Il faudra peut-être que je relise plus lentement...

 

(Je croyais que l'évaporation des trous noirs était due aux particules virtuelles qui se créent et disparaissent sans cesse et dont la position précise est indéterminée, ce qui peut les placer à l'intérieur ou à l'extérieur de horizon du trou noir : si la particule est en dehors et que son anti-particule est à l'intérieur, celle-ci ne peut pas s'annihiler avec la particule, mais avec une autre particule du trou noir, de sorte que peu le trou noir va peu à peu se vider de ses particules.)

[MKPanpan]

Il y a 10 heures, 'Bruno a dit :

si la particule est en dehors et que son anti-particule est à l'intérieur, celle-ci ne peut pas s'annihiler avec la particule, mais avec une autre particule du trou noir, de sorte que peu le trou noir va peu à peu se vider de ses particules.)

Pas exactement. Lorsque le couple de particulier est créé, il y a une dette d'énergie, car celles-ci ont été créées à partir de rien, violant les principes de conservation de l'énergie. C'est pour cela que l'on parle de particules virtuelles. Elles doivent s'annihiler pour rétablir l'équilibre.

Si l'une d'entre elles (peu importe s'il s'agit de la particule ou de l'anti particule) est absorbée par le trou noir, l'annihilation n'est plus possible et la dette d'énergie doit être comblée autrement. C'est donc du trou noir que cette énergie est prélevée, qui perd donc alors une partie de sa masse, suis sortie d'énergie gravitationnelle.

Modifié 15 novembre 2025 par MKPanpan

['Bruno]

Merci pour les précisions ! En tout cas je ne vois toujours pas le rapport avec cette notion indéfinie d'information.

[MKPanpan]

Il me semble que c'est un terme générique pour décrire le principe de causalité, par exemple la notion d'univers observable.

Deux points d'univers ne peuvent avoir un lien de causalité que s'il y a eu échange d'informations. L'échange d'informations ne peut se faire qu'au mieux à la vitesse de la lumière.

 

La théorie de l'inflation vient d'ailleurs de ce principe, sans cela, l'isotropie du fond diffus cosmologique ne serait pas possible.

Cela a aussi posé des problèmes, notamment concernant l'intrication quantique.

 

Les informations en question peuvent donc être la masse, l'énergie, la charge électrique, le spin, ...

[GW17]

            Bonjour. 

Merci de votre intérêt au sujet de ma "REMARQUE" sur les TDL exprimée dans l'ouverture du sujet.

Quelqu'un pourrait-il aussi se pencher sur le corps même du sujet, qui est la démonstration des TDL (transformations de Lorentz), et donner ses commentaires sur la présente démonstration ?

Je sais bien que les TDL ne sont plus à démontrer quant au résultat. C'est ici, le cheminement qui m'intéresse. Suis-je pour ce chemin, dans le vrai ?

Merci...

 

il y a une heure, MKPanpan a dit :

Il me semble que c'est un terme générique pour décrire le principe de causalité, par exemple la notion d'univers observable.

Deux points d'univers ne peuvent avoir un lien de causalité que s'il y a eu échange d'informations. L'échange d'informations ne peut se faire qu'au mieux à la vitesse de la lumière.

 

La théorie de l'inflation vient d'ailleurs de ce principe, sans cela, l'isotropie du fond diffus cosmologique ne serait pas possible.

Cela a aussi posé des problèmes, notamment concernant l'intrication quantique.

 

Les informations en question peuvent donc être la masse, l'énergie, la charge électrique, le spin, ...

 

['Bruno]

Il y a 6 heures, MKPanpan a dit :

Il me semble que c'est un terme générique pour décrire le principe de causalité, par exemple la notion d'univers observable.

Deux points d'univers ne peuvent avoir un lien de causalité que s'il y a eu échange d'informations. L'échange d'informations ne peut se faire qu'au mieux à la vitesse de la lumière.

 

La théorie de l'inflation vient d'ailleurs de ce principe, sans cela, l'isotropie du fond diffus cosmologique ne serait pas possible.

Cela a aussi posé des problèmes, notamment concernant l'intrication quantique.

 

Les informations en question peuvent donc être la masse, l'énergie, la charge électrique, le spin, ...

Ah, je comprends mieux, merci ! 

 

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GW17 : désolé, on a un peu dévié... Difficile de donner un avis sur ta démonstration, c'est très technique et on n'a pas forcément les compétences. 

[GW17]

        Hello Bruno. 

  Pas grave pour la déviation. Ce contenu sur lequel je suis peu pertinent et moins motivé pour l'instant, est à mon avis intéressant.

  Pour mon essai, Il me semble que le niveau mathématique de ma démonstration est assez basique. Elle fait surtout référence pour la physique, à la constance de la vitesse de la lumière dans le vide pour les systèmes galiléens, et à l'hypothèse d'Enstein de l' isotropie de l'espace temps. 

  Pour les mathématiques je me sers de la relation de Chasles et d'arithmétique usuelle.

  Le reste, qui ma donné le plus d'efforts, est surtout une réflexion sur les questions de simultanéité et du rôle de la lumière dans le repérage d'un objet physique.

  À cet égard, je me suis souvent trompé et ai pris des résultats corrects pour preuve d'une réflexion juste. Grave erreur.

  C'est pourquoi j'aimerais savoir un peu où j'en suis maintenant.

      Merci.  🙂

 

[GW17]

Le 11/11/2025 à 10:50, GW17 a dit :

partant de M qui arrive en O et O' aux temps respectifs t et t'. 
  D'où, comme M est un point fixe dans le repère S :
OMts=OMt's'. 
  Par contre, O'Mts=O'Mt's'  serait faux car M est en mouvement dans ce système. Reprenons :

OMts=OMt's'=OO't's'+x'
  Et comme O' s'est déplacé de OO't's'=vt'=vx'/c          , on trouve
x=vx'/c+x'=(1+v/c)x'
x'=x/(1+v/c)

 

  Je dois préciser pour expliquer s'il le faut :

OMts=OMt's'=OO't's'+O't's'Mt's'

  Puis de même, O' s'est déplacé sur S' pendant le temps t'

OO't's'=vt'         d'où, en posant

O't's'Mt's'=x' et OMts=x  , comme on a

OO't's'=vt'=vx'/c  ,  on trouve

x=vx'/c+x'=x'(1+v/c) ...

[GW17]

  Bonjour. De retour sur ce forum. 

  INTRODUCTION :  

  Je pense que pour bien s'approprier et comprendre une idée, rien n'est mieux que d'essayer de la retrouver par soi-même. J'essaie donc ici de trouver ma propre voie vers le trésor des transformations de Lorentz. 
  Grâce aux précieux retours de lecteurs,  je me suis rendu compte que mes précédents essais de démonstration, malgré un résultat correct, étaient dans la méthode... Exactement faux. 
  Suite à un temps de réflexion, notamment sur les questions de simultanéité et de définition des coordonnées d'un événement, je persévère à tenter "d'inventer" ma propre méthode pour parvenir à mon but.

  Ayant beaucoup oublié de ma formation en mathématiques d'il y a cinquante ans, je me suis servi des souvenirs très basiques qui me restent. Au moins ainsi, je me dis que cet essai pourra peut-être servir, au delà qu'à moi-même, à la vulgarisation de la théorie de la relativité.

   J'espère cette fois m' être enfin rapproché de mon but sans avoir encore cédé aux chants des sirènes d'un résultat illusoirement correct. En la matière, comme en voyage, la valeur du cheminement fait la valeur de la destination. Merci à mon lecteur pour sa patience.

  Merci aussi si vous voulez donner votre avis sur ce texte. 

 

  ESSAI DE DÉMONSTRATION :

 

  S et S' sont deux référentiels galiléens aux repères d'origines respectives O et O'. 
  S' est en translation rectiligne uniforme de vitesse v par rapport à S. Le mouvement est sur l'axe des x que les deux systèmes ont en commun. 

  La vitesse c de la lumière dans le vide est constante, selon la théorie de la relativité restreinte, pour tous les systèmes galiléens, c'est à dire non accélérés.
  On est dans le vide. M est un point fixe de S d'abcisse x sur l'axe des x, et d'abcisse x' dans S'.
  M représente un objet physique. C'est son rayonnement lumineux, photon perçu par l'observateur situé en O, ou en O', suivant le référentiel, qui définira son existence et ses coordonnées.
  La distance entre deux points événements dans un référentiel galiléen relativiste, est indiquée par le temps que met un photon dans ce référentiel, depuis son émission au premier point, jusqu'à sa réception à l'autre point. 

  Pour mesurer cette distance, on pourrait supposer que deux observateurs, auront préalablement synchronisé leurs montres. Ils ont dû le faire au même endroit, puis se sont séparés pour rejoindre chacun sa position de mesure, aux extrémités... Ceci entraînerait une altération dûe à ces déplacements non galiléen des pendules. Cette méthode n'est donc pas acceptable.

  Autres solutions, cette fois je pense, convenables : trouver empiriquement le milieu des deux points par un observateur entre les points et un miroir à chaque extrémité. Une fois l''égalité des mesures établie, on en déduira la longueur du segment.
  Ou bien mieux encore : un observateur à une extrémité du segment envoie un signal réfléchi par un miroir installé à l'autre extrémité. On en déduit la distance recherchée. Sans que l'observateur ait bougé, le système reste ainsi galiléen, la vitesse de la lumière c dans le vide, y étant constante et la même dans les deux sens du parcours lumineux.

 

  Sur S, OM=x=c†    sur ce système, le photon a mis la durée de temps † pour arriver en O.

  On définit l'origine O', telle qu'elle coïncide avec O à la réception du photon  qui était parti de M. Quand O et O' coïncident, les observateurs synchronisent leurs pendules.
  Ainsi les abcisses de M obtenues dans S et S' indiqueront la distance à cette origine commune dans chacun des systèmes.
  L' observateur de S comme celui de S' constatera dans son propre système,  la réception de ce photon au même point événement O=O'.
  De la sorte, cette situation correspond à celle de l'observation d'un objet ordinaire, aux mêmes instant et endroit par les observateurs de deux systèmes en translation rectiligne uniforme réciproque.

  Soit P, point fixe de S', se trouvant en M à l'émission du photon qui en émane. 
  Puisque dans S', O' et P se déplacent à vitesse v par rapport à S, un photon quand il part de P, met aussi dans le système galiléen S', la durée † pour atteindre le point O'. La vitesse c de la lumière est la même sur S'. On a dans ce référentiel S' à tout instant :
O'P=OM=x     
  P correspond à la position qu'aurait le point M dans S' si celui-ci au lieu d'être fixe dans S, suivait le mouvement de O'.     
  À réception en O'=O dans S' du photon provenant de M, le point P s'est dans l'intervalle, déplacé de M à la vitesse v, ceci pendant la durée †' de transit jusqu'à O' de ce photon.
  On a alors dans S' :
O'P=O'M+MP
  Comme O'P=x    O'M=x'=c†'  †'=x'/c  et MP=v†' , on trouve avec ces valeurs  :
x=x'+vx'/c
x=x'(1+v/c)   
  Soit l'égalité qui définit la position du point M dans S et S', quand O et O' coïncident :
x'=x/(1+v/c)         si v ≠ -c

  Pour un point N à la distance c(†+∆†) de O, on aurait la même relation entre ses abscisses sur S et S' quand O et O' coïncident, d'où, pour la distance entre M et N à réception du signal si O est en O' :
|∆x'|=|∆x/(1+v/c)|      si v ≠ -c

 

  Si S' était de vitesse -v par rapport à S, l'écart résultant devrait être le même en valeur absolue, par le principe d' isotropie spatiale, soit :
|∆x'|=|∆x/(1-v/c)|       si v ≠ c

  Les deux égalités précédentes pour la distance |∆x'| sont insatisfaisantes. Elles donnent des résultats qui pour une même vitesse, dépendent de son orientation spatiale. 
  Elles s'excluent mutuellement. Ni l'une ni l'autre prise isolément, n'est conforme au principe d'isotropie spatiale, principe qui pose que le résultat, l'écart observé doit être le même si l'on inverse le sens de l'expérience. 
  Par contre, en multipliant ces deux formulations du même écart, on trouve l'équation générale vraie alors pour v comme -v , dans les deux choix de référentiel "fixe".

(∆x')²=(∆x)²/(1-v²/c²)

  C''est maintenant, par v², l'intensité de la vitesse qui seule importe, quelque soit son sens :

  D'où, si |v/c| ≠ 1  et 1-v²/c²  positif, les 2 solutions sur R :

∆x' =  ∆x/√(1-v²/c²)      , et

∆x' =-∆x/√(1-v²/c²)   : impossible. 

  M et N ne peuvent pas s'inverser dans leur arrivée en O' si v/c > 0, ceci selon les deux égalités d'origine pour v comme pour -v, où ∆x et ∆x' ont même signe.

  Classiquement, on obtient l'expression, en posant ß=1/√(1-v²/c²) 

∆x' = ∆x /√(1-v²/c²)=ß∆x

 

CONSÉQUENCE CONCERNANT LES LONGUEURS :

  Du point de vue du référentiel S, évaluer la longueur sur S, d'une mesure étalon de S', correspondrait à la prise à son passage à partir de S, d'une photo de cette longueur étalon ∆l' préalablement mesurée localement sur S.'  
  L'idéal serait que cette photo soit prise sur S en O, au passage de la mesure étalon de S' quand l'observateur se trouve au milieu du segment mesuré. L'observateur doit être considéré au repos sur S pour que la mesure corresponde bien à l'étalon de S'.
  Dans ces conditions, la mesure faite sur S de cette longueur étalon de S' de mesure ∆l' sur S', est la longueur ∆l telle que :

∆l=∆l'√(1-v²/c²) 

  ∆l correspond à la vision depuis le système considéré comme fixe, de la longueur ∆l' mesurée sur le système en déplacement relatif.
  Le mètre étalon du système défini en mouvement apparaîtra diminué dès lors qu'on le perçoit depuis le système "fixe". 
  Cette propriété s'applique dans les deux sens, que l'on se place dans un système comme dans l'autre, les longueurs du système en mouvement apparaîtront diminuées du point de vue du système considéré comme fixe.

 Une fusée allant à une vitesse proche de celle de la lumière, mesurant 2m à son bord, pourra apparaître mesurer 1 mètre pour un observateur terrestre, lors de son passage près de la terre.
  Réciproquement, à cette vitesse, la terre apparaîtra autant diminuée à l'observateur de la fusée, que l'a été la fusée pour l'observateur de la terre.

 

  COORDONNÉES DES ÉVÉNEMENTS Ms et Ms' à tout instant t de S :

Si ∆x' et ∆†' représentent à la réception du signal en O'=O, l'intervalle entre deux points de S' par rapport à leur intervalle sur S, le système "fixe" de référence, on a :
∆x' = ∆x /√(1-v²/c²)=ß∆x
  De même, on a pour les intervalles de temps de parcours de la lumière entre deux points, quand O' est en O :
∆†' = ∆† /√(1-v²/c²)=ß∆x/c

  Posons t=t'=0 quand O et O' coïncident.
  Soit O", origine du référentiel galiléen S", fixe et aligné par rapport à S, mais tel que O" est en O' à l'instant t en O. Posons pour les notations générales MPs signifient segment MP mesuré sur S etc. Remarquons que comme ∆x'=ß∆x, MPs'=ßMPs pour deux points M et P fixes de S si t=0 quand O est en O'.
  On a pour M point fixe de S et de S'', de coordonnées sur S à l'instant t en O, (x=c†,t) :
O'Ms'=x'=O''Ms'   O"et M étant deux points fixes de S'
O''Ms'=x'=ßO''Ms''=ßO'Ms" car O" est en O' et S' est de vitesse v par rapport à S"
x'=ßO'Ms''=ß(O'Os''+OMs'')
  Or,
OO's''=OO's=vt et de même OMs''=OMs=x   car S et S'' sont réciproquement immobiles et ne diffèrent que par leur origine, d'où à l'instant t :
x'=O'Ms'=ß(OMs-vt)
x'=ß(x-vt)     Ceci à l'instant t en O et pour t=0 quand O=O'

 

  ET, CONCERNANT LE TEMPS :

  Comme OMs=c† dans S, un signal reçu en O à l'instant t=† correspondra presque par définition à un signal envoyé à l'instant 0 de M sur S. On a alors pour ce signal  t=†, t'=†', x=ct et  x'=ct', d'où
x'=ß(ct-vt)
ct'=ß(ct-vt/c)
t'=ßt(1-v/c)   ou encore
t'=ß(t-vt/c)
t'=ß(t-vx/c²)
  Un signal envoyé à l'instant 0 de M sur S et S' arrivera en O à l'instant t de S et t' de S' dans les conditions précédentes. M(x,t) et M(x',t') sont les coordonnées de l'événement en S et S'.

  Ce qui donne pour un point M, la transformation de l'intervalle temps :
∆t'=∆t /√(1-v²/c²)  ou 
∆t=∆t'√(1-v²/c²)
∆t<∆t'

  Par exemple si ∆t=1/2∆t',  1 seconde sur S correspondrait à deux secondes sur S'. S pourrait être la fusée et S' la terre, et si :
√(1-v²/c²)=1/2
1-v²/c²=1/4
v²/c²=3/4
v=c.√3/4=1/2c√3
v ≈ 0,87c

  Un écart temporel du système de référence, celui de l'observateur "fixe", est toujours inférieur à celui mesuré sur le système en mouvement relatif. 

 

  Notons la réciprocité remarquable de cet effet sur les intervalles de temps. 
  Si j'ai bien compris : mon temps dans la fusée (mon système fixe) passera deux fois moins vite que sur terre... Mais par contre mon temps si j'étais sur terre (alors considérée comme le système fixe) passerait aussi deux fois moins vite que sur la fusée. Vrai casse-tête !!

  Morale de l'histoire : Si les voyages forment la jeunesse... Ils déracinent un peu !

 

  REMARQUE : 

  Pour résoudre le problème, on a dû supposer 1-v²/c² non nul. 
  Si 1-v²/c² est nul,  soit v=c, la résolution est impossible.
  Mathématiquement, sur R, il faut aussi que 1-v²/c² soit positif pour en extraire la racine. Ceci a donné la solution précédente. 

  Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires, il existe encore des solutions si 1-v²/c² est négatif, soit, si v, la vitesse de S' par rapport à S, est supérieure à c.
  Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment S' pourrait recevoir le signal de M venant du système S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ? 
  Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de calcul, on aurait alors deux autres solutions pour 1-v²/c² négatif, dans un espace imaginaire", en :
i √(v²/c²-1)     et      -i √(v²/c²-1)    ou bien :
i √I1-v²/c²I     et       -i √|1-v²/c²I
 
  Plus généralement, on aurait pour les transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/  i √(v²/c² -1)   , et
x' = (x- vt)/-i  √(v²/c² -1)

  Puis comme 1/i=-i :

x' = -i (x- vt)/ √(v²/c² -1)
x' =  i (x- vt)/ √(v²/c² -1)

  En effet, la vitesse de la lumière est considérée comme inaccessible à  cause du diviseur 1-v²/c² qui serait nul, et des notions de masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas considérer pour autant, l'existence possible de systèmes pouvant se déplacer dans un espace à cinq dimensions à des vitesses supra-luminiques par rapport à S ? 
  La matière dans cet autre espace, n'aurait alors pas forcément eu besoin de dépasser la vitesse de la lumière pour y exister.   
  Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées imaginaires comme le proposent ces calculs.
 Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace temps, resterait à  découvrir.
 Ces autres solutions au problème ont certainement été entrevues ou évoquées par le grand Albert Einstein et d'autres.
 Pourquoi en tout cas, ces solutions aux transformations, ont-elles été délaissées ? Je fais appel à qui pourrait m'indiquer une piste. Merci.