Enigme astro/scientifico/ludique

[yaplusdenuit]

oui, Y est symétrique de A par rapport à B (l'hexagone typique..)

non, c'est le cercle de centre Y et de rayon AY qui coupe effectivement cercle A'

[yaplusdenuit]

Oups.. on s'est croisé...

[syncopatte]

Oufti, rien que croiser Papillon, ce n'est plus dans un Univers chiffonné parallèle qu'on est, mais dans un truc impensable, perpendiculaire ou quelque chose comme ça...

 

De quoi ça cause encore ici?

Faut que j'y retournasse voir ce qu'y s'y passe.

 

A + les aminches!

Modifié 10 mai 2009 par syncopatte

['Bruno]

Ah OK, le cercle de rayon [YA]... Effectivement, on dirait que ça marche !

 

Vérifions ça. J'utilise les coordonnées, ça évite de réfléchir. On se place dans un repère {A, AB, AC} où C est tel que (AB ) et (AC ) sont perpendiculaires et AB = AC. A a pour coordonnées (0 ; 0) et B a pour coordonnées (1 ; 0). Le milieu de [AB] a pour coordonnées (1/2 ; 0).

 

Par construction, Y a pour coordonnées (2 ; 0) (parce qu'en reportant trois fois la distance [AB] sur le cercle B', on trace les sommets de trois triangles équilatéraux dont les angles font tous 60°, de sorte que l'angle ABY fait 180° : Y est situé sur la droite (AB ), et comme BY = AB, l'abscisse de Y est 2).

 

Notons A' et B' les cercles de centre A et B et de rayon 1 (je reprends ta notation). Notons Y' le cercle de centre Y et de rayon 2. Y' coupe A' en deux points M1 et M2. On note (x1 ; y1) et (x2 ; y2) leurs coordonnées. Quelles sont leurs coordonnées ?

 

Équation de A' : x^2 + y^2 = 1 (1)

Équation de Y' : (x-2)^2 + y^2 = 4 (2)

 

(1) - (2) donne : 4x - 4 = -3, soit x1 = x2 = 1/4. Ah, c'est bien parti ! Inutile de calculer y1 et y2, ça me barbe, finalement on va réfléchir un peu. La droite (M1M2 ) a pour équation x = 1/4 ; elle est donc perpendiculaire à (AB ) et coupe (AB ) en le point J de coordonnées (1/4 ; 0).

 

Le processus de Starfleet consistait à tracer un cercle de centre M1 et de rayon [M1A] et un cercle de centre M2 et de rayon [M2A]. Ces deux cercles se coupent en A et en un deuxième point appelé I. Et Starfleet affirmait que I était le milieu de [AB].

 

Par construction, AM1 = IM1 (car I est sur le cercle de rayon AM1). De même, AM2 = IM2 et de plus AM1 = AM2 puisque M1 et M2 sont sur le cercle A'. Donc A-M1-I-M2 est un losange. Ses diagonales (M1M2 ) et (AB ) sont perpendiculaires (on le savait déjà) et leur intersection (le point J défini plus haut) est le milieu des diagonales, en particulier le milieu de [AI]. Les coordonnées de I sont donc (1/2 ; 0). I est bien le milieu de [AB].

 

Bien joué Starfleet !

 

(À vous de faire plus simple sans utiliser de coordonnées... )

Modifié 11 mai 2009 par 'Bruno

[Toutiet]

Toutiet : tu as compris la réponse de Starfleet ???? Pour moi' date=' la phrase « De A, rapporter 3 fois le rayon AB sur le cercle B' » est incompréhensible. Si c'est ce que je crois, ça forme un point Y qui est le symétrique de A par rapport à B, mais alors le cercle de centre A et de rayon [AY'] ne coupe pas le cercle de centre A et de rayon [AB] !

 

 

 

 

Mets un espace entre le B et la parenthèse : B )

 

Il s'agit du cercle de centre Y et non pas A.

(... de ce point (sous-entendu Y), traçons un cercle de rayon AY...)

[Toutiet]

Bruno,

Il y a une réponse géométrique plus simple...

QUi va la trouver...?

[yaplusdenuit]

Soit P l'intersection du cercle de rayon AY (centre Y) et du cercle A'

Il suffit de prouver que la projection de P sur le segment initial AB, tombe au 1/4 de la longueur du segment, en partant de A

oui, non...

[yaplusdenuit]

Bruno,

Il y a une réponse géométrique plus simple...

QUi va la trouver...?

 

Trouvé: les 2 triangles APY et AP-centre de AB sont homothétiques

Or comme dans le grand triangle isocéle, le petit coté = moitié du grand (R et 2R), le 2 éme triangle a aussi son petit coté = moitié du grand, or comme le grand = le segment, le petit = 1/2 segment, donc c'est le milieu .

 

(pourvu qu'il ne me demande pas de prouver que les 2 triangles sont homothétiques... car j'ai pas encore regardé)

[yaplusdenuit]

Bien sur qu'ils sont homothétiques puisqu'ils sont isocéles et que leur angle (le grand) est le meme..au point A..puisqu'il est commun aux 2 triangles.

 

J'aurais jamais cru qu'on puisse trouver le centre d'un segment rien qu'avec un compas, mais ça n'a rien d'évident. La prochaine ...on se calme j'espére, un peu moins dur, on a besoin de sommeil..

[Toutiet]

Soit P l'intersection du cercle de rayon AY (centre Y) et du cercle A'

Il suffit de prouver que la projection de P sur le segment initial AB, tombe au 1/4 de la longueur du segment, en partant de A

oui, non...

 

Oui,... fastoch...

[yaplusdenuit]

J'espére que j'ai gagné un voyage dans l'espace, afin de vérifier si une bougie reste allumée en apesanteur (toujours la meme obsession...) :D:D

[Toutiet]

Bravo yaplusdenuit,

Cette démonstration, par l'homotéthie des triangles, est excellente !

 

Une autre solution était de remarquer que, si Q désigne le point diamétralement opposé à A sur le cercle de centre Y, et H la projection de P sur AB, alors on a : AP^2 = AH x AQ

Soit R^2 = AH x 4R

Soit AH = R/4 et, grâce au triangle isocèle AP[milieu cherché], on a bien A[milieucherché] = 2 AH = R/2

CQFD

Modifié 11 mai 2009 par Toutiet

[yaplusdenuit]

Bravo yaplusdenuit,

Cette démonstration, par l'homotéthie des triangles, est excellente !

 

Une autre solution était de remarquer que, si Q désigne le point diamétralement opposé à A sur le cercle de centre Y, et H la projection de P sur AB, alors on a : AP^2 = AH x AQ

Soit R^2 = AH x 4R

Soit AH = R/4 et, grâce au triangle isocèle AP[milieu cherché], on a bien A[milieucherché] = 2 AH = R/2

CQFD

 

Bien sur, c'est la formule BxC = AxH (appris sous cette forme) qui prend en compte la hauteur dans un triangle. Cela parait facile comme ça, encore faut il penser à "créer" le point Q ...si loin.

 

De toute façon, en géométrie, il suffit trés souvent de tracer la bonne figure, pour trouver trés facilement, si on passe à coté on peut chercher longtemps; en ce sens la géométrie est trés "imaginative" et là ça n'a jamais été mon fort, je préfére l'algébre - tu remarqueras qu'en fait je n'ai rien trouvé, je n'ai fait que démontrer (calculer) ce qu'avais inventé Starfleet.

[Toutiet]

Bien sûr, mais les constructions graphiques (comme le problème posé le demandait) impliquent une justification et ne résultent pas du hasard...

 

En tout cas, bravo et merci à tous ceux qui se sont impliqués dans ce divertissement .

[yaplusdenuit]

Une petite question, bien plus simple que de couper un segment en 2 parties égales..

 

D'aprés vous, combien de satellites géostationnaires faut il, au minimum, pour que de n'importe quel point de la surface terrestre, on soit en vision directe avec au moins l'un d'eux ?

 

On suppose la terre sphérique et lisse (sans reliefs)

 

Ceux qui ont trouvé ne disent pas tout de suite, ou alors seulement un petit indice pas trop révélateur, ou ils m'envoient un MP.

 

Réponse en principe ce soir vers 21h30 sauf si ça caffouille trop;)

['Bruno]

Bravo Yaplusdenuit, ta démonstration géométrique était plus simple ! Par contre, j'aime moins celle avec AP² = AHxAQ : il y a des calculs comme dans la mienne et en plus il faut avoir l'idée d'aller placer ce point Q.

 

Starfleet : tu connaissais la construction ?

 

----------

Pour les satellites géostationnaires, je pense que les voisinages des pôles ne peuvent voir aucun satellite géostationnaire. Si on met le voisinage des pôles de côté, ben ça doit faire 3, ça me semble même tellement évident que je me dis qu'il doit y avoir un piège... (Je viens de faire un calcul qui prouve que 3 suffisent mais ce sera pour ce soir.)

[R V]

Bonjour,

 

Ben dis donc pour un flemmard comme moi,ça va être drôlement difficile de

trouver!.

 

Bon déjà il faut que je sache a quelle altitude ils volent ces bestiaux la.Après

ben on verra si j'ai encore assez d'énergie pour continuer!.

 

Hervé

[Starfleet]

 

Starfleet : tu connaissais la construction ?

 

 

Oui bien sûr, je la connaissais ! Mais j'ai du sortir feuille et compas avant de poster. J'en avais une autre, mais oubliée.... avec le temps.

[Toutiet]

Petite question toute bête, qui n'a rien à voir :

Qui peut me donner la somme des chiffres du très grand nombre 10^95 - 95 ?

Modifié 12 mai 2009 par Toutiet

[Lasilla]

5

[Toutiet]

5

Non

[kenaroh]

Petite question toute bête, qui n'a rien à voir :

Qui peut me donner la somme des chiffres du très grand nombre 10^95 - 95 ?

833

 

Plus rigolo : la somme des chiffres de 10^12 - 95

['Bruno]

Pas si vite Toutiet, on est à la question de Yaplusdenuit (sur les satellites géostationnaires) !

 

(Je crois que c'est 842.)

 

Kenaroh : si mon comptage est bon, c'est 95. (Si tu as trouvé 95 pour celui-ci, je ne vois pas comment tu as pu trouver 833 pour l'autre. Attention, j'ai bien peur que tu aies perdu la Takahashi 150 mm à cause d'une bête erreur de calcul... )

Modifié 12 mai 2009 par 'Bruno

[GéGé]

petite question toute bête, qui n'a rien à voir :

Qui peut me donner la somme des chiffres du très grand nombre 10^95 - 95 ?

 

842

Modifié 12 mai 2009 par GéGé

[Tex murphy]

Une petite question, bien plus simple que de couper un segment en 2 parties égales..

 

D'aprés vous, combien de satellites géostationnaires faut il, au minimum, pour que de n'importe quel point de la surface terrestre, on soit en vision directe avec au moins l'un d'eux ?

 

On suppose la terre sphérique et lisse (sans reliefs)

 

Ceux qui ont trouvé ne disent pas tout de suite, ou alors seulement un petit indice pas trop révélateur, ou ils m'envoient un MP.

 

Réponse en principe ce soir vers 21h30 sauf si ça caffouille trop;)

 

Il n'y a que ceux qui n'ont pas trouvé qui peuvent poster ?

ça fait déjà presque un jour sans réponse, alors...

alors je n'ai pas trouvé mais je pense très fort à un certain polyèdre régulier qui a le moins de sommets.

[syncopatte]

Pour les géostationnaires, je dirais que 2 devraient suffire.

 

La somme des chiffres: 96.

 

Patte.

[Tex murphy]

Oops, j'avais zappé la notion de géostationnaire.

Donc 3 suffiraient pour l'immense majorité des habitants, mais les habitants près des pôles ne seront jamais servis de toutes façons.

[Toutiet]

Suspens... : la bonne réponse a été donnée par l'un d'entre vous, oui mais laquelle ... ?

(A suivre)

['Bruno]

Tex murphy : j'ai répondu pareil que toi, mais du coup le problème est tordu, car si on néglige le fait que les habitants du pôle ne les voient pas, c'est qu'on suppose que le satellite est situé à l'infini, et là deux suffiraient (réponse de Syncopatte). Sauf qu'ils ne sont pas situés à l'infini...

 

Toutiet : elle a été donnée par deux d'entre nous. (Je suis sûr de moi, cette fois ! )

[kenaroh]

Oui Bruno, j'ai fait une bête erreur de calcul, j'ai fait 92×9+5 au lieu de 93×9+5, la bonne réponse est bien 842

 

Et l'autre c'est bien 95