Petits exercices pour le cerveau

[Newbie Mais]

7?

Me demandez pas pourquoi

 

Pierre

[Toutiet]

Lolo : j'y ai réfléchi deux minutes' date=' celui là a l'air corsé ! J'essaierai ce week-end si personne n'a trouvé...

 

-------

En attendant, voici une première majoration :

 

log(2011) < 3,303_413 (de peu, mais <)

 

Donc 2011 < 10^3,303_413 et :

2011^2011 < (10^3,303_413)^2011 < 10^6644.

 

X est donc un nombre à 6644 chiffres au plus. La somme de ses chiffres, Y, est donc comprise entre 1 et 9x6644 c'est-à-dire entre 1 et 59_796.

 

Parmi tous ces nombres, celui qui a la plus grande somme de chiffres est 58_999 : la somme fait 40.

 

Donc le nombre[b'] Z est compris entre 1 et 40[/b].

 

C'est déjà pas mal comme majoration, non ?

 

D'où mon intuition : 17

[Lolo]

 

Donc le nombre Z est compris entre 1 et 40.

 

C'est déjà pas mal comme majoration' date=' non ?[/quote']

 

Oui, c'est très bien, c'est la bonne voix. Majorer de la sorte est l'un des deux arguments clefs qu'il faut trouver et appliquer.

 

Il faut trouver la somme des chiffres de l'écrite décimale du nombre Z. Tu peux donc continuer ton raisonnement (une étape supplémentaire, identique aux précédentes) pour abaisser encore le nombre 40. La réponse sera alors comprise entre 1 et 12.

 

L'emploi du logarithme est évidemment correcte et accepté, mais n'est pas nécessaire. Majorer brutalement X par (10^4)^2011=10^8044 conduit au même résultat par la suite (un nombre compris entre 1 et 12) et sans se servir de calculatrice ou de table de logarithme.

 

Qui trouvera la bonne réponse parmi ces 12 nombre là ? Newbie Mais, désolé, mais ce n'est pas 7. Je ne dirai plus rien sans une réponse justifiée par un argument. Sinon, c'est trop facile en tapant dedans, maintenant que l'argument de Bruno a réduit le problème a seulement 12 possibilités.

[Toutiet]

Oui, c'est très bien, c'est la bonne voix. Majorer de la sorte est l'un des deux arguments clefs qu'il faut trouver et appliquer.

 

Il faut trouver la somme des chiffres de l'écrite décimale du nombre Z. Tu peux donc continuer ton raisonnement (une étape supplémentaire, identique aux précédentes) pour abaisser encore le nombre 40. La réponse sera alors comprise entre 1 et 12.

 

L'emploi du logarithme est évidemment correcte et accepté, mais n'est pas nécessaire. Majorer brutalement X par (10^4)^2011=10^8044 conduit au même résultat par la suite (un nombre compris entre 1 et 12) et sans se servir de calculatrice ou de table de logarithme.

 

Qui trouvera la bonne réponse parmi ces 12 nombre là ? Newbie Mais, désolé, mais ce n'est pas 7. Je ne dirai plus rien sans une réponse justifiée par un argument. Sinon, c'est trop facile en tapant dedans, maintenant que l'argument de Bruno a réduit le problème a seulement 12 possibilités.

 

Je suis d'accord avec Bruno sur la valeur maxi 40. Je ne vois pas comment, avec une itération supplémentaire, on peut se limiter à 12 ?.

Par contre, contrairement à Bruno, la valeur inférieure me semble être 5 (et non pas 1). Me trompe-je ?

Modifié 5 novembre 2011 par Toutiet

[Lolo]

Je suis d'accord avec Bruno sur la valeur maxi 40. Je ne vois pas comment, avec une itération supplémentaire, on peut se limiter à 12 ?

 

Je suis aussi d'accord avec Bruno, mais il parlait de la valeur du nombre Z. L'itération supplémentaire est pour majorer la valeur de la somme des chiffres de l'écriture décimale du nombre Z.

 

 

Par contre, contrairement à Bruno, la valeur inférieure me semble être 5 (et non pas 1). Me trompe-je ?

 

Le nombre 1 n'est qu'une minorant de la bonne réponse. Il existe une et une seule bonne réponse et c'est un nombre de l'ensemble {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Si tu veux réduire cet ensemble, il faut argumenter.

[Toutiet]

Je suis aussi d'accord avec Bruno, mais il parlait de la valeur du nombre Z. L'itération supplémentaire est pour majorer la valeur de la somme des chiffres de l'écriture décimale du nombre Z.

 

 

 

 

Le nombre 1 n'est qu'une minorant de la bonne réponse. Il existe une et une seule bonne réponse et c'est un nombre de l'ensemble {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Si tu veux réduire cet ensemble, il faut argumenter.

 

J'avance, j'avance... Je suis d'accord avec 12 et donc ma fourchette est, pour l'instant : 5 à 12.

J'ai bon ?

[Toutiet]

Elle vient de passer à 5...9

[Lolo]

Elle vient de passer à 5...9

 

Comme je l'ai déjà dit, je veux une justification ou je ne dis rien de plus.

[Toutiet]

Comme je l'ai déjà dit, je veux une justification ou je ne dis rien de plus.

 

D'accord, d'accord, mais je ne me justifierai que lorsque j'aurai trouvé la valeur exacte finale...

 

(Juste pour info, je chauffe ou pas...?)

Modifié 5 novembre 2011 par Toutiet

[Toutiet]

Au fait, qui pourrait compléter (et éventuellement prolonger) la suite logique suivante ? :

2 4 5 6 4 3 4 4 ? ? (? ? ? ? ...)

['Bruno]

Attends, on n'a pas encore résolu le problème de Lolo !

 

Pour la minoration j'ai mis 1 et non 5 car la somme des chiffres d'un nombre à 5 chiffres peut être 1 : 10_000. je n'ai pas cherché à majorer plus finement parce que c'était une première approche.

[José9]

Toutiet:

un deux trois quatre cinq six sept huit

2 4 5 6 4 3 4 4

donc le prochain sera 4 (neuf) puis 3 (dix) puis 4 (onze)

le nombre de lettres

['Bruno]

HORREUR ! Je viens seulement de me rendre compte que j'avais mal lu ! On ne cherche pas la valeur de Z, mais de la somme de ses chiffres !

 

Je refais le calcul, sans calculatrice cette fois :

1_000 < 2011 < 10_000

1_000^2011 < X < 10_000^2011

(10^3)^2011 < X < (10^4)^2011

10^6033 < X < 10^8044

 

Le nombre de chiffres de X est donc compris entre 6034 et 8044. Comme ces chiffres valent de 0 à 9 (sans être tous égaux à 0), la somme des chiffres est comprise entre 1 et 8044x9 = 72_396. Bref : Y est compris entre 1 et 72_396.

 

La somme des chiffres de Y, appelée Z, vaut donc entre 1 (pour Y=1) et 42 (pour Y=69_999).

 

Et la somme des chiffres de Z vaut donc entre 1 (pour Z=1 ou Z=10) et 12 (pour Z=39).

 

(En utilisant le logarithme est en encadrant avec 6 décimales, je trouve Y entre 13 et 59_808, d'où Z entre 2 et 39, du coup la somme des chiffres de Z est toujours entre 1 et 12.)

Modifié 6 novembre 2011 par 'Bruno

[Lolo]

D'accord, d'accord, mais je ne me justifierai que lorsque j'aurai trouvé la valeur exacte finale...

 

(Juste pour info, je chauffe ou pas...?)

 

Je ne donne pas ce genre d'info, mais je donne une grosse piste pour le second argument : reste de la division par 9.

['Bruno]

Ah oui : grosse indication ! Du coup tu viens de donner la solution... (Mais bon, c'est vrai que ça s'impose quand on a des sommes de chiffres et je suis une buse de ne pas y avoir pensé.)

 

Je le fais avec les congruences. 2011 = 9x223 + 4 est congru à 4 modulo 9.

2011^0 = 1 (9)

2011^1 = 4 (9)

2011^2 = 4^2 = 7 (9)

2011^3 = 4^3 = 1 (9) --> périodicité de 3. On en déduit que :

2011^n = 1, 4 ou 7 (9) selon que n=3k, 3k+1 ou 3k+2.

 

Comme 2011 = 3x670 + 1, c'est que X= 4 (9).

 

Or on sait que la somme des chiffres en écriture décimale est congrue à la même valeur, modulo 9, que le nombre en question (c'est le principe de la « preuve » par 9 (*)). Donc Y, Z ainsi que la somme des chiffres de Z sont eux aussi congrus à 4 modulo 9.

 

Comme la somme des chiffres de Z est comprise entre 1 et 12, elle ne peut valoir que 4.

 

----

(*) Facile à démontrer avec les congruences. L'écriture décimale revient à remplacer un nombre n par une somme de a_k 10^k où a_k est un chiffre. La somme des chiffres est donc égale à la somme des a_k. Comme 10^k = 1 (9) (évident, par exemple 10^3 = 999 + 1) on a : a_k 10^k = a_k (9). C'est pourquoi la somme des a_k 10^k (le nombre de départ) est congrue, modulo 9, à la somme des a_k (la somme des chiffres). Cette petite énigme est un très intéressant exercice pour la terminale S !

Modifié 6 novembre 2011 par 'Bruno

[Lolo]

Bravo Bruno, tu as résolu l'énigme. C'est bien 4 la solution.

[Toutiet]

Ca demanderait quand même quelques lignes supplémentaires d'explication...

En particulier, pourquoi 2011^2 = 4^2 = 7 (9)...???? (N'aurions-nous pas pas la même définition du signe = et de la définition de la puissance...?)

Modifié 7 novembre 2011 par Toutiet

['Bruno]

Toutiet : comme je l'ai dit, j'ai utilisé les congruences. Je l'ai précisé justement pour éviter toute ambiguïté. La notation 2011 = 4 (9) signifie « 2011 est congru à 4 modulo 9 », ou encore : le reste de la division 2011 par 9 est égal à 4.

 

Après, on peut faire un cours sur les congruences... Les congruences permettent de faire de l'arithmétique dans un ensemble fini de nombres. Par exemple s'il est 23h et que j'observe durant 6h, je remballerai mon matériel à 23+6 = 29h... en fait 5h. On écrit que 29 = 5 (24). Si tel phénomène dure 100h et commence à 4h, il finira (quelques jours plus tard) à 8h, car 100 = 4 (24), donc 4+100 = 8 (24).

 

Si 2011 = 4 (9), alors 2011^2 = 4^2 (9) (propriété basique des congruences, c'est du niveau bac S). Or 4^2 = 16 et 16 = 7 (9) (puisque 16/9 a pour reste 7). D'où : 2011^2 = 7 (9). De même 2011^3 = 4^3 (9), et 4^3 = 64. Le reste de la division de 64 par 9 est 1, donc 2011^3 = 1 (9). On retombe sur la même valeur que 2011^0, donc forcément ça va boucler : 1, 4, 7, 1, 4, 7 et ainsi de suite avec une périodicité de 3. C'est ce qui permet de calculer 2011^2011 modulo 9 sans passer par le calcul de 4^2011. (Tous les bacheliers S spécialité maths sont sensés savoir faire ce type de calcul.)

Modifié 7 novembre 2011 par 'Bruno

[yaplusdenuit]

Trois bonnes copines, Blanche, Rose et Violette se rencontrent.

Le hazard fait que l’une porte une chemisier blanc, une autre un chemisier violet et la troisiéme un chemisier rose.

Violette remarque qu’aucune d’entre elles ne porte un chemisier assorti à son prénom.

«*C’est exact*» répond celle qui a le chemisier blanc.

Qui porte quoi*?

[Fred_76]

Blanche ne porte pas de culotte, ça on s'en doute mais c'est Rose qui acquiesce la constatation de Violette (Violette ne va quand meme pas se répondre à elle même, et on sait que Blanche ne porte pas le chemisier blanc, ce n'est donc pas elle qui acquiesce : il ne reste que Rose).

 

Donc Rose porte le chemisier blanc, Violette le rose et Blanche le violet (et rien en dessous évidemment).

Modifié 13 juillet 2012 par Fred_76

[yaplusdenuit]

Blanche ne porte pas de culotte, ça on s'en doute mais c'est Rose qui acquiesce la constatation de Violette (Violette ne va quand meme pas se répondre à elle même, et on sait que Blanche ne porte pas le chemisier blanc, ce n'est donc pas elle qui acquiesce : il ne reste que Rose).

 

Donc Rose porte le chemisier blanc, Violette le rose et Blanche le violet (et rien en dessous évidemment).

 

Pour la culotte je sais pas .... mais pour les chemisiers, c'est parfaitement exact.

[yaplusdenuit]

Une devinette scientifique (pas de piége, ni jeu de mot) que j'avais déjà posée il y a quelques années, mais je la pose à nouveau car je l'aime bien, et puis depuis le temps, des nouveaux sont arrivés:

 

Vous étes dans une barque sur un étang. Vous avez mis dans la barque une pierre trés ordinaire que vous avez trouvée sur la rive, d’une dizaine de kg environ.. peu importe.

Au milieu de l’étang, vous jetez cette pierre par dessus bord, elle coule donc et va se poser au fond de l’étang... normal.

Si quelqu’un au bord mesure le niveau de l’eau de l’étang avant et aprés avoir jeté la pierre, que constatera t il:

 

1- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang a baissé

2- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang a monté

3- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang n’a pas changé

[ricounet]

Je dirais la réponse 3 (théorème d'Archimède)

[Fred_76]

Oui.

 

C'est comme la barque avec son échelle qui trempe dans l'eau. Les barreaux sont espacés de 22 cm. A marée basse, 3 barreaux sont dans l'eau, 4 sont hors de l'eau. La mer monte de 44 cm, combien de barreaux restent hors de l'eau ?

[Toutiet]

Oui.

 

C'est comme la barque avec son échelle qui trempe dans l'eau. Les barreaux sont espacés de 22 cm. A marée basse, 3 barreaux sont dans l'eau, 4 sont hors de l'eau. La mer monte de 44 cm, combien de barreaux restent hors de l'eau ?

 

AH AH AH AH...:be: !!!

[malain28]

Oui.

 

C'est comme la barque avec son échelle qui trempe dans l'eau. Les barreaux sont espacés de 22 cm. A marée basse, 3 barreaux sont dans l'eau, 4 sont hors de l'eau. La mer monte de 44 cm, combien de barreaux restent hors de l'eau ?

 

Escellent !!!!

 

Du même genre, par contre à l'oral c'est mieux :

 

Un chien saute dans l'eau, vous diriez il sèche ou elle sèche ?

 

 

ps : la plupart des gens réponds il sèche ... va savoir pourquoi !

Modifié 28 mai 2013 par malain28

[Flaub85]

Une devinette scientifique (pas de piége, ni jeu de mot) que j'avais déjà posée il y a quelques années, mais je la pose à nouveau car je l'aime bien, et puis depuis le temps, des nouveaux sont arrivés:

 

Vous étes dans une barque sur un étang. Vous avez mis dans la barque une pierre trés ordinaire que vous avez trouvée sur la rive, d’une dizaine de kg environ.. peu importe.

Au milieu de l’étang, vous jetez cette pierre par dessus bord, elle coule donc et va se poser au fond de l’étang... normal.

Si quelqu’un au bord mesure le niveau de l’eau de l’étang avant et aprés avoir jeté la pierre, que constatera t il:

 

1- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang a baissé

2- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang a monté

3- aprés avoir jeté la pierre le niveau de l’étang n’a pas changé

 

 

Je dirais 3 car le volume de l'eau déplacé doit être le même, que le caillou soit dans la barque ou au fond de l'eau, par contre si le caillou est jeté à terre une fois revenu près de la rive ...

 

Et un chien qui saute dans l'eau ne sèche pas, nà !

[yaplusdenuit]

Je dirais 3 car le volume de l'eau déplacé doit être le même, que le caillou soit dans la barque ou au fond de l'eau, par contre si le caillou est jeté à terre une fois revenu près de la rive ...

 

Archiméde nous dit seulement que pour un objet flottant, le poids de l'objet est égal au poids du volume d'eau déplacée.

La pierre dans la barque peut étre "assimilée" à un objet flottant (c'est bien l'eau qui la porte par l'intermédiaire de la barque), mais lorsqu'elle repose sur le fond, ce n'est plus un objet flottant !

 

....pour vous mettre sur la voie